计算物理学

第1章 绪论 计算机是20世纪人类昀重要的发明之一，对人类的生产生活产生了极其重要的影响。数值计算是随计算机一起发展起来的，它与具体的科学领域相结合便催生了相关的计算科学，计算科学常以“计算+”的形式出现。计算物理学（计算+物理）是诸多计算科学中的典型代表。计算物理学是物理学、数学和计算科学之间的交叉学科，它在物理学中的地位存在一定争议，有时被视为理论物理的重要工具，有时也被看作是“计算机实验”的方法，同时也有人将计算物理学看作是独立于理论物理和实验物理的物理学研究的第三种手段。几乎所有物理学的主要分支都能在计算物理学的应用中找到结合点，如计算力学、计算电动力学、计算固体物理等。因此，计算物理学在当代科学技术和工程实践研究中发挥着日益重要的作用[1-3]。 1.1 计算物理学的起源和发展 19世纪中叶以前，物理学是一门基于实验的学科。尽管在这一时期，数学解析与力学已经深度融合，并逐渐发展出一套以拉格朗日力学和哈密顿力学为代表，基于数学分析求解力学问题的方法（分析力学），但是物理学依旧是实验主导在前，理论分析在后。物理学的理论分析多用于对已知现象的解释和拓展，并没有展现出揭示新物理现象的能力。1863年，经典电动力学创始人、统计物理学奠基人之一的麦克斯韦建立了著名的麦克斯韦方程组，以此预言了电磁波的存在，这个理论预言在后来得到了充分的实验验证，为人类社会进入电气化时代奠定了基础。由此，理论物理开始成为物理学的一个独立分支，并在随后100年间得到了充分的发展。20世纪初，近代物理学爆炸式的发展使理论物理相对成熟，而一些问题也随之产生。物理学家和科技工作者发现，尽管通过理论方法能够获得描述客观世界基本规律的控制方程，但有些方程过于复杂而使传统的解析方法无法直接求解，这不仅是笼罩在物理学研究上的一团乌云，也成了物理学家心中长时间的心结。虽然著名英国理论物理学家、量子力学奠基者之一的狄拉克于1929年在 Proceedings of the Royal Society A：Mathematical， Physical and Engineering Sciences上发表了著名评论[4]“量子力学和整个化学所需的所有基本规律都已经给出”，但是量子力学方程非常复杂，只能在较多近似条件下才能得到解析解。事实上，只有特定条件下的解析解是远远不够的，物理学家期望能够对控制方程直接求解，从而真正实现从数值计算中理解、发现并预言新的物理现象。但是，20世纪初，计算工具的发展远远赶不上物理学家对计算的需求。 1941年的珍珠港事件不仅是人类历史的转折点，也是物理学史的重要转折点，科学的发展**次这么近距离影响人类历史的走向。珍珠港事件后，在爱因斯坦等一批物理学家的推动下，美国于1942年6月开始秘密实施原子弹研制计划，即曼哈顿计划。在实验方面，核武器的研制不仅花销极大（仅曼哈顿计划的费用占美国当年 GPD的0.8%），而且实验难度极高，资源也极其匮乏，在实验过程中无法获得复杂过程的所有数据。在理论方面，核武器研制所涉及的理论模型和方程非常复杂，根本没有解析解，完全无法进行手动计算，只能利用高性能计算设备进行数值计算和模拟。基于此，美国于1944年开始大规模建造计算机。美国著名计算机学家、物理学家，被称为计算机之父的冯 诺依曼曾估计，曼哈顿计划研制过程中所需的计算量可能超过了人类有史以来所进行的全部算数运算的总和。 如同硬币一样，任何事情都具有两面性。一方面原子弹给人类带来了极端的恐惧，人类首次获得了完全毁灭自身的能力，但另一方面，伴随而生的计算机技术的快速发展则极大地促进了科学技术的进步。1959年5月，美国揭开了曼哈顿计划的内幕，其研究内容也可以部分解密并对科学界公开，遂以“计算物理方法”丛书的名义陆续编辑出版。这套丛书在1963～1977年共出版17卷，内容涉及统计物理、量子力学、流体力学、核粒子运动、核物理、天体物理、固体物理、等离子体物理、受控热核反应、地球物理、原子与分子散射、地表波、射电天文、大气环流等方面的物理学问题，介绍了这些物理学问题在计算机上求解计算所需要的计算方法。在这套丛书中，计算物理（computational physics）这一名词**次正式出现，大致反映了计算物理的概貌。从这一刻开始，计算物理、理论物理、实验物理就逐渐成为物理学研究中的“三驾马车”，并驾齐驱。 计算物理学发展的原动力是美国核武器研制的刺激，计算机昀初也是为开发核武器和破译密码而被研制出来的，但在20世纪50年代初期，计算机就已经部分转为非军事用途。在美国著名物理学家费米的推动下，美国洛斯 阿拉莫斯国家实验室（Los Alamos National Laboratory， LANL）于1952年开始将计算机应用于非线性系统的长时间行为和大尺度性质的研究[5]。1955年5月，费米及其合作者编写的国家实验室研究报告中提出了许多与计算物理学相关的问题，很多人把这一年看作计算物理元年。随着计算机在科学界的推广，越来越多的物理学家开始关注计算物理的相关问题。1965年，科学家 Harlow与 Fromm在 Scientific American期刊上发表了 Computer Experiments in Fluid Dynamics一文[6]，首次提出了计算机实验的概念。由此，数值计算开始逐渐不再依附于实验或者理论研究，人们也开始利用计算物理技术，不断提供一系列新概念，并发现一系列新的物理现象，从而实现通过计算物理理解、发现和预言新物理现象的目标。经过近60年的发展，计算物理学已与物理学的方方面面相互交融，现今物理学研究都离不开计算物理学的辅助和支撑。近年来，运行速度每秒万亿次甚至亿亿次的超级计算机的出现也给人们的生活和工作带来了革命性的改变。我国计算机行业的起步并不算晚，**台电子计算机103机于1958年问世。由于超级计算机可应用于天气预报、风洞模拟实验、航空航天、地震预警、武器研发等方面，我国对超级计算机的需求日益增加。1983年，银河系列超级计算机成功研发，我国成为当时世界上少数几个能够预测和发布5～7天天气预报的国家。近年来，我国在超级计算机方面发展迅速，已跃居国际先进国家行列，2020年的世界超级计算机500强榜单中，我国占217个，其中神威 太湖之光排名第四、天河二号排名第五。 1.2 计算物理学的研究内容和方法 在实际研究过程中，计算物理与理论物理、实验物理关系密切，理论物理为计算物理提供理论依据和抽象的模型方程，并检验分析计算结果；实验物理则为计算物理提供数据起点，验证计算结果。事实上，计算物理学的研究范围包括但不限于以下五方面，即复杂物理体系的数值计算与模拟、复杂物理体系的解析计算与分析、物理实验数值的采集与分析处理、物理实验过程与实验系统的模拟与控制及物理图像的获得、识别和处理。一般来讲，计算物理学主要由建模（modeling）、模拟（simulation）和计算（computation）三部分组成，这三部分也是初学者容易混淆的地方，需要特别区分。建模偏重物理、数学模型的建立，是计算物理学的基础；模拟也被称为计算机实验，是用计算手段对物理过程的描述、表达和再现，进而实现对物理现象的探索；计算是指以计算机为基础的数值研究，即对理论问题的数值研究和实验数据的数值分析。 计算物理学的研究方法脉络非常清晰。在研究过程中，首先需要确定物理模型，根据物理模型选取数学方法，即算法；其次编程计算，分析所得到的计算结果；昀后得出物理结论。其中，算法是所有问题的重中之重，主要关注计算精度、计算收敛性、计算稳定性和计算复杂性，这些问题将在本书后续内容中详细讨论。首先通过几个简单的例子，来说明计算方法的重要性。 例1.1 线性方程组的求解计算物理学中的许多问题可归结为线性方程组的求解问题，对于下列方程组： （1.1） 其中，均为常数。由线性代数的知识可知，只要其系数行列式满足： （1.2） 方程就有唯一解。其中 Dj是行列式第 j列，用 b代替所构成的行列式，这就是著名的克拉默法则。但是，克拉默法则往往不能应用于实际计算，因为当 n=20时，所需要的乘法运算竟达到1021次。也就是说，如果采用运算速度为每秒上亿次的超级计算机，也要连续计算数百万年才能完成计算。显然，这个计算量是不可接受的。但是，如果采用数值计算的方法，无论是直接消去法，还是迭代法，在小型电子计算机上只需要几秒钟，就可以完成求解。这说明，采用不同的计算方法，计算工作量的差距是非常大的。 例1.2 非线性方程求根问题 迭代法是非线性方程求根的常用方法。假设已知方程在附近有根，如果用迭代法求解，则首先需要构建迭代公式，然后逐步求得所需要的根。根据原始方程，可构建如下迭代公式： （1.3） 以作为初值代入式（1.3）中计算，依次得到。显然，5次迭代以后，结果收敛于0.39185。当然，也可以有不同迭代公式的构造方法，如果构造迭代公式为 （1.4）这时，仍以作为初值代入式（1.4）中计算，将依次得到，但是所得到的计算结果是发散的。因此，当计算方法选择不合适时，可能无法得到收敛的解。 例1.3 平方根倒数速算法 《雷神之锤Ⅲ》是20世纪90年代的经典电脑游戏之一，人们在着迷于游戏本身的同时，也十分好奇为什么该系列的游戏即使在当时较低配置的计算机上也能极其流畅地运行，2003年在公共论坛上出现的平方根倒数速算的源代码给出了答案。原来在计算机图形学中，如果要精确求出照明和投影的波动角度和反射效果，需要进行大量平方根倒数的计算，而该速算法极大减少了求平方根倒数时浮点运算所产生的计算量。该速算法的核心程序如下： float R_rsqrt( float number ) { long j; float x2， y; const float ths = 1.5F; x2 = num * 0.5F; x = num; j = * ( long * ) &x; j = 0x5f3759df - ( j >> 1 ); x = * ( float * ) &j; x = x * ( ths - ( x2 * x * x ) ); return x; } 该程序的核心在于选择了“魔术数字”0x5f3759df，然后通过一次牛顿迭代，即可得到满足数值精度的平方根倒数。《雷神之锤Ⅲ》中大量应用了该速算法，从而极大地提高了计算效率。*早认为该速算法是由美国天才程序设计师、开源软件的倡导者 Carmack研发，但后来人们发现，该速算法早在计算机图形学中就有所应用，因此直到现在该速算法的作者仍无从考究，人们也没能知晓“魔术数字”选择的原因。这说明，简单、精妙的算法能够极大地推动科技的进步。 1.3 计算物理中的误差 计算物理中的误差是不可避免的，要求计算结果的绝对准确也是没有意义的，因此如何在提升计算效率的同时，减小计算过程中的误差是计算物理学永恒的主题。误差就是近似值和准确值之间的差值，即，其中e为误差，x为准确值，x为近似值。需要注意的是，误差是有量纲的，量纲同。在实际问题中，因为准确值x*往往是未知的，所以误差往往无法准确计算，因而有关误差的定义式就失去了实际意义，只能估计误差绝对值的一个上限。假设存在一个绝对值极小的正数，使 （1.5） 成立，则称.为近似值x的绝对误差限。 事实上，绝对误差的大小仍旧不能完全表示出近似值的精确度，因此还应该考虑相对误差的大小。将近似值误差的绝对值与准确值的绝对值之比定义为相对误差，即 （1.6） 在实际计算中，由于准确