线性代数(科学出版社十四五普通高等教育本科规划教材)/工科数学信息化教学丛书

第1章 矩阵 对于自然学科、经济学、工程技术等领域中的大量问题，我们会通过线性化后再进行分析解决.有关矩阵的相关知识在解决线性化后的问题起着极其重要的作用，这也决定了矩阵在线性代数中的重要地位.本章将介绍矩阵的概念、矩阵的运算、分块矩阵、矩阵的初等变换与初等矩阵、逆矩阵、方阵的行列式等有关矩阵的基本理论. 1.1 矩阵的概念及特殊矩阵 1.1.1 矩阵的概念 在生活中，我们会处理成批的数，如学生的成绩、物资调运方案等. 例1.1.1 某班4个学生(编号1，2，3，4)3门课程(编号1，2，3)的期末考试成绩如表1.1.1所示. 表1.1.1 期末考试成绩表 如果用表示第个同学第门课程的期末考试成绩，表1.1.1可以简单表示成如下数表这种数表称为矩阵.下面给出矩阵的定义. 定义1.1.1 由个数按照一定的次序排成的一个行列的数表称为行列的矩阵，简称矩阵.记作 其中:叫作矩阵第行第列的元素或元;分别叫作元素的行指标、列指标.矩阵可简记为.元素为实数的矩阵称为实矩阵，元素为复数的矩阵称为复矩阵.在本书中如无特殊说明，矩阵均为实矩阵.通常用大写英文字母表示矩阵. 例如，元线性方程组的系数可以组成一个行列矩阵.矩阵称为该线性方程组的系数矩阵. 1.1.2 特殊矩阵 (1)一个的矩阵 称为一个列矩阵或列向量. 一个的矩阵 称为一个行矩阵或行向量.为避免元素间的混淆，行矩阵也记作. (2)若矩阵的所有元素均为零，则称矩阵为零矩阵，记作. (3)若矩阵行数和列数相等即，则称矩阵为阶方阵.在阶方阵中，元素排成的对角线称为方阵的主对角线.易见，当为一阶方阵时，就是一个数.数可看成矩阵的特例. (4)若方阵的元素，则称矩阵为对角矩阵，其中称为的对角元，记作. 例如，为三阶对角矩阵. (5)若对角矩阵的主对角线上的元素为同一个数，即，则称矩阵为数量矩阵. (6)若阶数量矩阵的主对角线上的元素为1，则称该矩阵为单位矩阵，记作或，即 (7)主对角线以下(上)元素全为零的阶方阵称为上(下)三角形矩阵. 上三角形矩阵 下三角形矩阵 1.2矩阵的运算 我们可对数进行加、减、乘、除四则运算.由1.1节矩阵的概念可知数是矩阵的特例.关于数的四则运算是否可以推广到矩阵呢？答案是肯定的.在本节中，将先介绍矩阵的加法、减法、数乘和乘法，*后介绍矩阵的转置和共轭. 1.2.1矩阵的加法运算 为了定义矩阵的加法运算，先介绍同型矩阵. 若矩阵的行数和列数分别相等，即，则称矩阵与矩阵为同型矩阵. 若同型矩阵满足，则称矩阵与矩阵相等，记作. 定义1.2.1设矩阵与矩阵为同型矩阵，令，则称矩阵为矩阵与的和，记作. 根据定义1.2.1可知，矩阵的加法就是将它们的对应的元素相加，显然，只有同型矩阵才可以进行加法运算. 设矩阵，称矩阵为的负矩阵，记作. 由定义1.2.1可以直接证明矩阵的加法满足下列运算性质. 性质1.2.1设矩阵都是矩阵，则 (1); (2); (3); (4). 利用负矩阵，可以定义矩阵的减法.两个同型矩阵与的差为. 例1.2.1 设，求. 解 1.2.2 数与矩阵的乘法 定义1.2.2 设是一个矩阵，是一个数，则矩阵称为数与矩阵的乘积，简称矩阵的数乘，记为或，规定为. 容易证明，矩阵的数乘运算具有下列运算性质. 性质1.2.2 设为同型矩阵，为任意数，则 (1); (2); (3); (4). 矩阵的加法和数乘统称为矩阵的线性运算. 例1.2.2 设矩阵，有，求. 解由得 故 1.2.3 矩阵的乘法 定义1.2.3 设矩阵，那么规定矩阵与矩阵的乘积是，其中并将此乘积记作. 根据定义1.2.3可知，矩阵与能进行乘法运算的条件是矩阵的列数等于矩阵的行数，矩阵的第行第列的元素等于矩阵的第行元素与矩阵的第列对应元素的乘积之和.显然，矩阵的行数等于矩阵的行数，矩阵的列数等于矩阵的列数. 例1.2.3 设，求和. 解. 例1.2.4 设，求，和. 解. 例1.2.5 计算下列矩阵的乘积 解 例1.2.6 设，求. 解 通过，归纳出，假设的**行第三列的元素为，其中，那么有 解 上面关于的线性方程组，得由此归纳出 用数学归纳法证明.当时，显然成立.