高等数学(上)(第二版)

第1章 函数、极限与连续 由于社会经济和科学技术发展的需要，数学在经历数千年的发展之后进入了从形的研究向数的研究的新时代，由常量数学发展为变量数学，微积分的创立是这一时期*突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数. 极限是研究函数的基本方法，连续函数则是函数的一种重要属性，因而本章是整个微积分学的基础.本章主要介绍函数的概念及其基本性质、数列和函数的极限及其基本性质、连续函数的概念及其基本性质，为进一步学好微积分打下一个良好的基础. 1.1 函数 1.1.1 集合、区间与邻域 1.集合 自从德国数学家康托尔（Cantor）于19世纪末创立集合论以来，集合论的概念和方法已渗透到数学的各个分支，成为现代数学的基础和语言.集合是数学中的一个*基本的概念，它在现代数学和工程技术中有着非常重要的作用.一般地，具有某种特定性质的对象的全体称为集合.组成这个集合的对象称为该集合的元素.例如：某人通讯录好友的全体组成一个集合，其中每一个好友为该集合的一个元素；整数的全体组成整数集合，每个整数是它的元素等. 习惯上，用大写的英文字母A，B，C， 表示集合，用小写的英文字母a，b，c， 表示集合的元素.若a是集合A的元素，则称a属于A，记为a∈A；否则称a不属于A，记为aA（或aA）.含有有限个元素的集合称为有限集；由无限个元素组成的集合称为无限集；不含任何元素的集合称为空集，用表示.例如，某人通讯录好友的全体组成的集合是有限集；全体整数组成的集合是无限集；方程的实根组成的集合是空集. 元素都是数的集合称为数集.全体自然数组成的集合称为自然数集，记为N；全体整数组成的集合称为整数集，记为Z；全体有理数组成的集合称为有理数集，记为Q；全体实数组成的集合称为实数集，记为R.如无特别说明，本书中提到的数都是实数. 集合的表示方法主要有列举法和描述法.列举法是将集合的元素一一列举出来，写在一对花括号内，如.描述法是在花括号内指明集合中元素所具有的性质，即将具有某种性质特征的元素x所组成的集合A记为.例如，由方程x2－5x+4=0的根构成的集合，可记为. 设A，B是两个集合，若A的每个元素都是B的元素，则称A是B的子集，记为（或），读为A被B包含（或B包含A）；若，且有元素，但，则称A是B的真子集，记为.例如，NZQR. 注 规定空集为任何集合的子集，即对任何集A，若，且，则称集合A与集合B相等，记为.例如，设，则. 由属于A或属于B的所有元素组成的集合称为A与B的并集，记为，即由同时属于A与B的元素组成的集合称为A与B的交集，记为，即由属于A但不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集，记为A\B(或A-B)，即两个集合的并集、交集、差集如图1.1.1阴影部分所示. 图1.1.1 在研究某个问题时，如果所考虑的一切集合都是某个集合S的子集，则称S为基本集或全集. S中的任何集合A关于S的差集称为A的补集（或余集），记为. 集合运算具有下列性质： （1）交换律； （2）结合律； （3）分配律； （4）对偶律 . 2.区间 区间是用得较多的一类数集.设a和b都是实数，且a　　以上四种区间的长度都是有限的，因此统称为有限区间.称a为区间的左端点，b为区间的右端点，数称为区间长度.此外还有无限区间，如这里记号“-∞”和“+∞”分别表示“负无穷大”和“正无穷大”. 3.邻域 邻域也是常用的一类数集，是微积分学中经常用到的一个概念. 设a是一个给定的实数，δ（通常是很小的正数）是某一正数，称数集为点a的δ邻域，记为，即 其中称点a为该邻域的中心，δ为邻域的半径.在数轴上表示以a为中心、长度为2δ的对称开区间，如图1.1.2所示. 图1.1.2 若将邻域的中心去掉，所得到的数集称为点a的去心δ邻域，记为，即称区间为点a的左δ邻域，区间为点a的右δ邻域. 注不等式意味着，即更一般地，以a为中心的任何开区间均是点a的邻域，当不需要特别指明邻域的半径时，可简记为. 1.1.2 函数的概念 1.函数的定义 在自然现象或工程技术中，常常会遇到各种各样的量，如几何中的长度、面积、体积和经济学中的产量、成本、利润等.在某个过程中，保持不变的量称为常量，取不同值的量称为变量.例如：圆周率π是永远不变的量，它是常量；某商品的价格在一定的时间段内是不变的，所以在这段时间内它也是常量；一天中的气温、工厂在生产过程中的产量都是不断变化的量，这些都是变量.又如，北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭点火发射，神舟十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员送入太空，飞行乘组状态良好，发射取得圆满成功.火箭飞行过程中，其重力加速度随着火箭离地面高度的增加而减小，是不断变化的，所以它是变量. 一般地，在一个问题中往往同时有几个变量在变化着，而且这些变量并非孤立在变，而是相互联系、相互制约的.这些变量之间相互依赖的关系刻画了客观世界中事物变化的内在规律，函数就是描述变量间相互依赖关系的一种数学模型. 定义1.1.1 设D是一个给定的非空数集，若对任意，按照对应法则，都有唯一确定的与之对应，则称为定义在D上的一个一元函数，简称函数，记为，其中数集D称为函数的定义域，记为，x为自变量，y为因变量. 若将函数视为一个机器，它将输入值x作为它的原料，将输出值作为它的产品，如图1.1.3所示.每一个输入值都有唯一相对应的输出值，但是几个不同的输入值有可能输出相同的值. 对，按照对应法则f，总有确定的值（记为）与之对应，称为函数在点x0处的函数值.因变量与自变量的这种相依关系通常称为函数关系. 当自变量x遍取的所有数值时，对应的函数值的全体组成的集合称为函数f的值域，记为，即 注 函数概念的两个基本要素是定义域和对应法则.两个函数相等的充要条件是它们的定义域和对应法则都相同. 通常所说的定义域为使函数的表达式有意义的一切实数所构成的集合，即自变量的取值范围，这种定义域称为函数的自然定义域.在实际问题中，函数的定义域应根据问题的实际意义来确定. 从几何上看，在平面直角坐标系中，点集称为函数的图像.函数的图像通常是一条曲线，也称为这条曲线的方程.这样，函数的一些特性常常可借助于几何直观来发现；反过来，一些几何问题也可借助于函数进行理论探讨. 例1.1.1 求函数的定义域. 解 要使数学式子有意义，x必须满足.即，因此函数的定义域为. 例1.1.2判断下面函数是否相同，并说明理由： （1）与； （2）与； （3）与 （4）与. 解（1）不相同.因为的定义域是，而的定义域是. （2）不相同.虽然与的定义域都是，但对应法则不同. （3）相同.虽然这两个函数的表现形式不同，但它们的定义域和对应法则均相同，所以这两个函数相同. （4）相同.虽然这两个函数的自变量和因变量所用的字母不同，但其定义域和对应法则均相同，所以这两个函数相同. 例1.1.3 设f(x)的定义域是[0，1]，求函数的定义域. 解 要使函数有定义，x必须满足 即 所以函数的定义域为. 2.常见的分段函数 在自变量的不同变化范围内，对应法则用不同数学式子来表示的函数称为分段函数.常见的分段函数有以下四种. 例1.1.4 绝对值函数的定义域是，值域是，如图1.1.4所示. 图1.1.4 图1.1.5 例1.1.5 符号函数的定义域是，值域是三个点的集合，如图1.1.5所示. 例1.1.6 *大取整函数，其中为不超过x的*大整数.例如，等.函数的定义域是，值域是整数集.一般地如图1.1.6所示. 例1.1.7 狄利克雷（Dirichlet）函数