希尔伯特空间分裂可行性问题(精)

第1章预备知识 1.1希尔伯特空间 1.1.1定义与例子 定义1.1设X是实线性空间，是定义在X上的非负函数。若 对任意的都满足下列条件： （1） （2） （3） （4） 则称是上的范数，此时称为赋范线性空间。 定义1.2设为实线性空间，定义二元函数。 对于任意的H，满足以下性质： （1） （2） （3） （4） 则称函数为内积，此时称为内积空间。 设H是内积空间，对任何，定义范数，则H按该范数是一个赋范线性空间。由内积导出的范数满足平行四边形公式： 其中是中任意两个元素。设是赋范线性空间，如果其范数满足平行四边形公式，则在H中可以定义内积 使得成为内积空间。 定义1.3设是赋范线性空间正整数使得 则称是柯西序列。若中任意柯西序列都在中收敛，则称为完备的。 定义1.4如果赋范线性空间是完备的，则称为巴拿赫空间。如果内积空间作为赋范线性空间是完备的，则称为希尔伯特空间。 例子1.1（欧氏空间）N维欧氏空间 其内积定义如下 相应的范数定义为 设是一对称正定矩阵，则可定义另一种内积： 相应的范数定义为 例子1.2（数列空间）l2空间为由平方可和数列构成的线性空间， 其内积如下： 相应的范数定义为 1.1希尔伯特空间 例子1.3（函数空间）空间为由闭区间上平方可积的勒贝格 可测函数构成的线性空间，即 其内积如下： 相应的范数定义为 1.1.2等式与不等式 以下设N是一个正整数，为希尔伯特空间。 内积与范数满足下列基本性质。 性质1.1对任意的x，y∈H，下列等式成立。 （1） （2） （3） （4）对任意的，下列等式成立： 性质1.2对任意的，下列不等式成立。 （1） （2）柯西-施瓦茨不等式： 其中等号成立的充分必要条件为：x与y线性相关。 （3）三角不等式：对任意的 （4） 柯西-施瓦茨不等式在有限维空间中有如下形式： 利用上述基本性质，可以得到下面常用等式。 性质1.3。则下列等式成立： 证明由内积的定义 于是结论得证。 性质1.4对每个，设满足，则 证明由内积的定义 1.1希尔伯特空间 移项后即得所证等式。 性质1.5对每个，设满足，则 证明在性质1.4的等式中令，即得所证等式。 1.1.3强收敛与弱收敛 定义1.5若H中的序列满足 定义1.6若对任意的，序列都满足 则称弱收敛到，记为若存在和子列使得 则称是序列的一个弱聚点。 记为序列的全体弱聚点构成的集合。弱收敛序列具有下列基本 性质。 性质1.6下列关于弱收敛的结论成立。 （1）弱收敛序列的极限唯一。 （2）弱收敛序列必然有界。 （3）强收敛必然蕴含弱收敛。 （4）有界序列存在弱收敛的子列。 （5）若序列有界且有唯一弱聚点，则其必然弱收敛。 定理1.1（Opial性质）设是中的序列。若弱收敛到，则对任意的，下列不等式成立： 证明由内积的基本性质 因为弱收敛性蕴含有界性，所以对上式两端同时取下极限得 根据已知条件，从而定理得证。 强收敛与弱收敛在有限维空间中是等价的。而在无穷维空间中，强收敛显然蕴含弱收敛，而逆命题一般不成立。在一些特殊条件下，这两种收敛性是等价的。 定理1.2（Kadec-Klee性质）设是中的序列，且满足。 则弱收敛到强收敛到。 证明显然只需证弱收敛到强收敛到x。由内积性质可得 故强收敛到，因此定理得证。 1.1.4线性映射 定义1.7设映射对任意的，都有 则称是线性映射。当时，称为线性泛函。