线性代数(第二版)

引言 线性方程组简介 线性方程组是线性代数的重要研究对象， 所谓线性方程是指未知量的次数都是一次的方程， 线性方程组就是有限个线性方程的群组， 例如 一般的 n 元线性方程组可表示为 (I) 其中 x1， x2， * ， xn 是未知量， aij 和 bi 都是数， 称 aij 是 xj 的系数， b1， b2， * ， bm是常数项. m 可以等于 n， 也可以大于或小于 n. 我们约定: 系数为 0 的项可以不写. 一组数 (c1， c2， * ， cn) 称为是线性方程组 (I) 的解， 如果用 x1 = c1， x2 =c2， * ， xn = cn 代入方程组 (I)， 则方程组 (I) 的每个式子都成为恒等式. 例如， (.18， 0， 12) 是线性方程组 的一个解. 一个线性方程组可以有解， 也可以没有解， 可能只有一个解， 也可能有无穷多个解. 例如， 线性方程组* 显然没有解， 而线性方程组* 则有无穷多个解， 因为，对任意数*都是它的解. 两个线性方程组称为是同解的， 如果它们的解的集合相等. 求解线性方程组的过程就是逐步找出与之同解的且更易于求解的线性方程组的过程. 显然， *容易求解的线性方程组是 它有唯一解 (c1， c2， * ， cn). 稍微复杂一点的下列形式的线性方程组也是容易求解的: 其中 *由*后一个方程解得*， 代入倒数第二个方程解得*， 如此继续下去即可求得方程组的唯一解.更一般地， 下面称为阶梯形的线性方程组也是立即可以知道其解的情况的: (II) 其中*，其解的情况为 (1) 方程组 (II) 有解的充分必要条件是 br+1 = 0; (2) 方程组 (II) 有唯一解的充分必要条件是 br+1 = 0 且 r = n， 此时， 其唯一解由上面的形式给出; (3) 方程组 (II) 有无穷多个解的充分必要条件是 br+1 = 0 且 r < n， 此时， 当未知量 *任取一组数*时， 代入方程组 (II) 即可唯一地解出*.所以， 我们称*，为自由未知量. 这样的解的表达式称为是方程组 (II) 的一般解. 例如， 线性方程组 的一般解是*， 其中 y 是自由未知量. 上面的阶梯形方程组 (II) 以*后 n.r 个未知量 *， 为自由未知量， 有时自由未知量不一定出现在*后， 这样的方程组也称为是阶梯形的， 例如， 下面的线性方程组也是阶梯形的， x2 是自由未知量: 也就是说， 方程组 (II) 的每个台阶都是一步， 而一般的阶梯形的台阶可能不止一步， 只要认清自由未知量， 一般的阶梯形的线性方程组的解的情况与方程组 (II)的解的情况是类似的. 但是， 为了书写简单， 我们一般都假设阶梯形方程组的自由未知量都出现在*后. 由于阶梯形线性方程组总是可以求解的， 所以我们的问题是， 如何把一个线性方程组化成一个与之同解的阶梯形线性方程组. 线性方程组的初等变换是可以把线性方程组变成同解的线性方程组的一种变换， 是求解线性方程组的一个基本的、有效的方法. 线性方程组的初等变换是指下列三类变换: (1) 用一个非零数乘方程组中的某一个方程; (2) 交换方程组中的某两个方程; (3) 把方程组中的一个方程的某个倍数加到另一个方程上去. 定理 对线性方程组作初等变换后得到的方程组与原方程组同解. 证明 设线性方程组为 (I) (1) 用一个非零数 c 乘方程组 (I) 中的某一个方程， 例如乘**个方程， 得方程组 (II) 显然方程组 (I) 与 (II) 同解. (2) 交换方程组 (I) 中的某两个方程的位置， 不妨设交换前两个方程的位置，得方程组 (III) 易见方程组 (I) 与 (III) 也同解. (3) 把方程组 (I) 中的一个方程的某个倍数加到另一个方程上去. 交换方程的位置， 不妨设， 把第二个方程的 d 倍加到**个方程上去， 得方程组 (IV) 易见方程组 (I) 的解一定是方程组 (IV) 的解. 由于方程组 (I) 可以由方程组(IV) 把其第二个方程的-d 倍加到**个方程上去来得到， 所以类似地得到方程组 (IV) 的解也一定是方程组 (I) 的解， 因而方程组 (I) 与方程组 (IV) 同解. □ 有了这个定理的保证， 我们知道了， 对线性方程组作初等变换既不会丢掉解，也不会增加解. 求解线性方程组是本教材的主线， 下面的内容将沿着这个主线展开. 第1章 矩阵与线性方程组 矩阵的概念很简单， 就是一个表格， 但矩阵的用途却很广. 线性代数中许多问题都可以表示成矩阵的问题， 用了矩阵的语言， 许多问题变得更加清晰， 解决问题的思路也变得更加清楚. 线性方程组的问题用矩阵来讨论会变得简洁. 矩阵现已成为数学中的一个*基本的概念了. 1.1 矩阵的定义与运算 现实生活中记录事件的*简单的一个方法是画表格， 表格分成一些行、一些列， 看起来一目了然. 例如， 某位商人分别从 3 处进 4 种货物， 他只要画一个3行4列的如下表格: 其中 aij 表示从 i 处进的 j 货物的数量. 回到线性方程组的问题. 从解方程的角度看， 线性方程组 与下列线性方程组: 是没有区别的， 因为它们的解的集合相同. 方程组的解是一列数， 与变量用 x1， x2， * ， xn 还是用 y1， y2， * ， yn 表示没有关系. 进一步地， 上述线性方程组中的变量和等号“=”只起到给系数*和常数 bi 确定位置的作用. 所以， 上面的线性方程组完全由下面的表格所确定: 这样的表格就是我们要来定义的矩阵. 定义 1.1.1 设 m . 1， n . 1， 由 m × n 个数 (有时是表达式) aij ， i =1， 2， *， m， j = 1， 2， * ， n 排成的 m 行 n 列的表格 称为一个 m × n 矩阵， 记为 aij 称为这个矩阵的 i 行 j 列的元素， 或 (i， j) 元素. 矩阵一般记为 A， B， * ， m × n 矩阵有时为标出它的行数和列数也记为 Am×n， 为了标出元素也记为 (aij) 或 (aij)m×n 等. 1 × n 矩阵就是 (a1 a2 * an)， 称为行向量；而 m × 1 矩阵就是 称为列向量. 我们把 1 × 1 矩阵 (a) 等同于数 a. 称 *为上面矩阵的第 i 个行向量， 称