高等数学

第1章 高等数学基础知识 1.1实数系 1.1.1映射 在中学，我们学习了集合，有了集合的概念之后，就可以在集合间建立联系了．映射是两集合间基本的对应关系． 定义1-1 设X，Y是两个给定的集合，若按照某种对应法则f，使对任意的x∈X，存在唯一的y∈Y与之对应，称对应法则f是集合X到集合Y的一个映射，记为f:X→Y或x→y=f(x)，其中，y称为在映射f下x的像，对应的x称为映射f下y的一个原像;集合X称为映射f的定义域，记为Df=X，集合Rf={y:y∈Y且y=f(x)，x∈X}Y称为映射f的值域. 简单地说，映射f是一个规律、一个关系，建立了两集合间的联系，因此，构成映射的要素为两个集合(定义域、值域)和对应规则f. 我们这里定义的映射，要求像是唯一的，原像不一定唯一，即都是单值映射，且并不是Y中每个元素都有原像. 定义1-2 若映射的原像唯一，即不同的原像，像也不同，此时称映射为单射;若映射满足Rf=Y，即Y中每个元素都有原像，称映射f为满射;既是单射又是满射的映射称为双射，也称为可逆映射. 映射建立了集合间的对应关系和联系，而作为高等数学研究对象的函数，就是一种简单的、特殊的映射，即建立在实数集合上的映射. 1.1.2函数的概念 函数，对我们来说并不是一个陌生的数学概念.在中学数学中，就学习过函数的概念，并接触了大量的具体函数，初步研究了一些具体函数的性质. 我们先简单回顾一下学习过的函数概念.函数就是建立在两个实数集合之间的对应法则(或实数集合到实数系的对应法则)，如f(x)=x2就是通过对应法则f:x→x2建立了如下两个集合间的映射f:R→R+，其中R表示全体实数的集合，R+表示全体非负实数的集合;f(x)=lnx就是通过对应法则f:x→lnx建立了全体正实数集合R+到实数集的映射f:R+→R;而就是通过对应法则建立了如下两个集合间的映射f:(0，1]→R+，这几个具体的函数例子中，都是通过一个映射，使两个实数集合之间建立了关系，由此我们可以得出函数的概念. 定义1-3 设集合D是实数集合，Y=R1为实数系，则称集合D到实数系R1的映射f为定义在D上的函数. 若以x表示D的元素，y表示Y中与之对应的像，映射为f，函数可以简记为 y=f(x)，x∈D， 其中，原像x称为自变量，像y称为因变量.D称为定义域，对于每个x∈D，按对应法则f，总有唯一确定的值y与之对应，这个值称为f在x处的函数值，记为f(x)，即y=f(x)，因变量y与自变量x之间的这种依赖关系，通常称为函数关系.所有函数值f(x)的全体构成的集合称为函数f的值域，记为Rf或f(D)，显然. 抽象总结 对应法则、定义域和值域也称为构成函数的三个基本概念.这三个基本概念中，关键是对应法则，就我们现阶段所遇到的大部分函数而言，对应法则就是由变量x构成的关系式(表达式)，我们也通常把这个表达式称为函数. 由于这里定义的函数的自变量只有一个，因此，这样的函数称为一元函数，这是我们上册研究的对象.如果自变量有两个或两个以上，对应的函数称为多元函数，我们将在下册研究. 函数的定义域和值域都是实数集合，因此，函数概念是建立在实数系的基础上的，所以，要了解和研究函数，必须从了解函数建立的基础——实数系开始. 1.1.3实数系 实数系的建立经历了非常漫长的历史阶段.从古人类为辨别一只羊、两只羊等数量上的区别(正整数意识的形成)，到结绳记数、刻痕记数等表达形式的形成，直到五千年前正整数的记数系统的形成，数——这里特指正整数，正式进入了人类的实践活动，并伴随着劳动成果的记数、物与物交换的贸易活动等实践形成了记数系统.这个系统使得数与数之间的书写与运算成为可能，在此基础上产生了算术，这是*早的数学理论.因此，人类在认识数的历史上，首先认识的是正整数，悠久的数的历史，实际上是正整数的历史.伴随着人类生产实践活动的深入，统计、分配、丈量、贸易(交换)以及对天象、地理等现象的观察的大量的实践活动广泛开展，对正整数的一些简单的运算便由此开始，一些新型的数逐渐被认识.正整数之后，首先被人类认识的数是正分数.四千多年前，古埃及人就有单分数的记载(分子为1的分数为单分数)，两千六百年前，中国开始出现把两个整数相除的商看作分数的认识，两千多年前的《周髀算经》就有分数的运算，其后《九章算术》有了分数完整的运算法则.继分数之后被发现的数是无理数.两千五百年前，毕达哥拉斯学派在研究勾股数时发现了无理数，但在当时，这样的数只是被认为是不可公约数而不被认可.但是，随着数字及其运算的发展，求方程的根、数的开方运算、对数运算等涉及越来越多的无限不循环小数，这些原来不被认可、不能表示为(m，n为正整数)的数，越来越多地与人类的活动联系在一起，迫使人们必须承认这些数.到了十五世纪，这些数更多地被应用于各种运算.十六世纪，有了记号“√”，当然，到十九世纪，才有无理数的严格的数学定义(用到了极限).相比于正数人们对负数的认识就又晚了一些，负数产生的直接原因应该是数的运算，包括求方程的根.我国刘徽首先提出负数概念并将负数引入运算，印度在七世纪才使用负数，欧洲直到十七世纪还不承认负数是数，认为负数是假数、荒谬的数.而特殊的数——零，首先作为空白位置的表示符号进入数学，在古巴比伦人的数学里可以找到记录;七世纪的印度数学家使用零作为一个数字，并给出了与零有关的一些运算法则(加，减)，零作为一个特殊的数字与符号逐渐进入了数学.这样，虽然作为数字系统组成部分的各种数逐渐为人类认识而熟知，但是，严谨、完整的实数系的建立是在十九世纪为解决微积分的基础时完成的，换句话说，直到十九世纪，完整的实数系理论才建立起来. 定义1-4实数系是指由全体实数构成的集合，记作R(或R1)，表示为 R={x:x为实数}. 实数系是一个庞大而复杂的系统，可以根据实数不同的性质进行不同的分类. 1.实数系的分类 按无限小数表示法可将实数分为无限循环小数(有理数)和无限不循环小数(无理数)两部分.若记有理数集合和无理数集合分别为 Q={x:x为无限循环小数(有理数)}， Qc={x:x为无限不循环小数(无理数)}， 则有 有理数集合也可以表示为 其中Z为整数集合，表示空集.整数和有限小数可以看成后面略去的部分全为0的无限循环小数. 按是否为整数可将实数系分为整数和非整数两部分. 若记Zc={x:x为非整数}，则 常用的一些集合符号还有 Z+={x:x为正整数}，称为正整数集; N={x:x为非负整数集}，称为自然数集; R+={x:x为非负实数，即x≥0}; R+={x:x为正实数，即x>0}. 我们再从运算的角度看实数系建立的必要性.首先给出一个系统对运算的封闭性的概念.所谓系统对运算是封闭的，是指系统中的元素经过此运算后，仍属于此系统.显然，如果系统对运算封闭，此运算对系统来说是一个好的运算. 对正整数构成的集合(系统)，只对加法和乘法运算封闭;正整数集合加入零和负整数之后，对减法运算也封闭;再加入分数后，对除法运算也封闭，再加入无理数之后，对更复杂的幂数、指数、对数运算也封闭了.因此，完整的实数系的建立，使得在实数系内进行各种运算有了意义，也正因为如此，实数系的建立为整个数学理论，当然也包括高等数学，奠定坚实的基础.正因为如此，我们有必要掌握实数系的一些简单性质. 2.实数系的简单性质 经过漫长的发展至十九世纪才形成的系统的、严谨的实数系，不仅具备*基本的四则运算所要求的简单性质，满足了初等数学的需要，还具有更高级的性质，满足高等数学对实数系的更高要求.下面，我们不加证明地引入一些实数系的性质. 性质1-1实数系对基本的四则运算是封闭的.进行除法运算时，0不能作为除数. 这个性质保证了在实数系中进行四则运算是有意义的，这是整个数学的基础. 性质1-2(实数的有序性)对任意的两个实数a，b，下面三个关系式: ab 有且仅有一个成立. 这个性质保证了每个实数在整个实数系中的秩序的确定性. 下面几个性质从不同角度说明了实数系的完备性，而这正是微积分建立的基础. 性质1-3(实数系的完备性) 实数系是完备的，实数和数轴上的点一一对应，即任给一个实数，都可以在数轴上找到一点和它对应;反之，也成立，数轴上的点都表示对应的一个实数.因而，实数充满了整个数轴. 这个性质从几何角度说明了实数系是一个完备的系统，实数充满了整个数轴，在数轴上没有空隙. 定义1-5 设A，B是R的两个子集，满足 且对任意a∈A，b∈B，都有a　　定理1-1(戴德金连续性公理) 对于R的任意一个戴德金分割(A，B)，都存在唯一的x∈R，使得 符号表示“对任意的”. 直观上看，戴德金分割就是将实数轴从某点处一分为二，定理1-1中的x0就是分点，如取则(A，B)就是R的一个戴德金分割.此性质同样表明实数系是没有空隙的，因此，实数系的完备性和连续性是等价的.定义1-5和定理1-1都很明显，易于理解，本书将以定理1-1作为公理. 定理1-1的结构分析 从结论看，定理的结论是确定一个点，使得此点为分割的分界点.我们把这类确定“满足某种性质的点”的定理称为“点定理”，这是此类定理的结构特征. 还经常用到实数系的另一重要概念——稠密性. 性质1-4(实数系是稠密的) 任意两个不同的实数间都含有另外一个实数，也即任意给定的两个不同实数a，b，不妨设a　　性质1-5有理数集Q是实数系R的稠密子集，即有理数在实数中是稠密的，也即任意给定的两个不同实数a，b，不妨设a　　注无理数集Qc也是实数系R的稠密子集. 从直观上理解，所谓“稠密性”就是“密密麻麻地分布于”之意.从这个意义上说，有理数密密麻麻地分布在实数系中.因而，在实数系(轴)上，找不到一个区间(数轴上一段)使得这个区间(段)内不含有理数，对无理数也是如此.因此，从稠密性看，有理数和无理数都有无限多个，但是，尽管如此，这二者在“数量”上还是有本质差别的. 性质1-6 有理数集和正整数集之间存在一一对应，因而，有理数集是无限可列数集. 性质1-6涉及一类无限集——无限可列集.我们称与正整数集存在一一对应的数集为无限可列集，因而，无限可列集的元素有无限多个，但可以用正整数的下标标号，将元素用正整数的标号进行一一列出.所有的正偶数的集合就是无限可列集，可以表示为{xn=2n:n∈正整数}.性质1-6还表明，在一一对应的意义下，有理数和正整数“个数相等”，这似乎是个矛盾，因为正整数集是有理数集的一个真子集.我们知道，对有限集来说，一个真子集的元素个数一定小于其母集的元素个数，由此看来，这个结论推广到无限集不成立.一个简单的解释是:对有限集来说，其子集和母集的元素个数都是确定的数，两个确定的数之间总可以比较大小;而对一个无限集来说，如果其一个真子集也是无限集，则两个集合的元素个数都是无穷(无限)，无穷不是一个确定的数，仅是一个符号，两个不确定的“无穷数”(两个符号)无法在通常意义下比较大小，因而，性质1-6所体现的这种现象确实存在，其结论并不矛盾，这正体现了“有限”和“无限”的差别.因此，对有