数学分析十讲

第1讲 求极限的若干方法 极限理论是数学分析的重要基础，求极限贯穿于数学分析的始终，其方法多种多样，如利用极限定义、利用夹逼原理、利用单调有界原理、利用两个重要极限、利用等价代换、利用洛必达法则、利用定积分定义等，高等数学和数学分析教材中已有详细介绍.这一讲介绍几种在传统教材中少有介绍却比较简便的方法，关于用积分中值定理求极限的方法，见第5讲第2节. 首先回想函数/(x)在点处导数的定义：或. 由于导数是用极限定义的，故可反其道而行之，利用导数定义计算某些数列和函数的极限. 例1.1.1 计算 例1.1.2 计算 1.1 用导数定义求极限 (方法二）原式 例1.1.3计算 解 原式 例1.4计算 解原式= 例1.1.5求 解设 所以，原式 例1.1.6设f(x)在a点可导，f(a)>0，计算 解由题设可知在a点的一个邻域内大于零，故有 例1.1.7设在处二阶可导，求 解原式. 1.2 用拉格朗日中值定理求极限 例设计算 解原式 例1.1.9 设存在，计算 解 习题1.1 l.计算下列极限： 2.设在处二阶可导，计算 3.设存在，计算. 4.设存在，计算 拉格朗日（Lagrange)中值定理是理论证明的有力工具.它告诉我们：当函数f(x)在吻附近可导时，则对附近的A存在Cx使这在计算某些函数的极限时非常简便有效. 例1.2.1计算 解原式之间. 例1.2.2计算 解原式位于与之间. 例1_2.3. 解原式位于与之间. 例1_2.4计算 解原式位于与之间. 例1.2.5计算 解原式 例1.2.6计算位于与之间 例⑴计算. 1.3用等价无穷小代换求极限 解(方法一）原式 (方法二）. 记，由柯西（Cauchy)中值定理有原式于与之间. 习题1.2 求下列极限: 1.3 用等价无穷小代换求极限 大家知道，若，且lim在附近不为，则事实上，因为，即等价代换不改变极限的存在性和极限值. 由拉格朗日中值定理导出的若干等价代换及其应用先利用拉格朗日中值定理给出下述一般命题： 命题1.3.1设在的一个邻域内连续，且在3的一个邻域内可导且f(X)在处连续，则. 证由拉格朗日中值定理和题设条件有位于a(X)与之间. 于是 因此有. 根据命题1.3.1，可对常见的初等函数得出下列等价关系，其中可以是自变量，也可以是函数每一个等价关系中极限过程相同为引用方便，特殊情形也单独编号. (1); (2); (3); (4); (5); (6); (7) (8); (9); (10). 下面给出一些应用例题. 例1.3.1 求 解由等价关系(2)有 原式