宇宙大尺度结构简明讲义

第1章宇宙的几何和物质组分 　　1.1宇宙学原理 　　现代宇宙学是构建在一个名叫“宇宙学原理”的假设之上的.该原理大致如下：“宇宙在大尺度上，是均匀且各向同性的.”这里首要的两个关键词是“均匀性”和“各向同性”.这是由于宇宙在大尺度上，更准确地说，是在“背景”层面上具有两种更高的对称性.“均匀性”对应的是“空间平移对称性”；“各向同性”对应的是“空间3维转动对称性”.“均匀性”是指空间中没有哪一个点是特殊的；“各向同性”是指空间中没有哪一个方向是特殊的.二者是相互独立的概念.比方说，高中时期就开始接触的“沿 x 轴方向的匀强电场”就具有空间均匀的性质；而“洋葱”形状的宇宙就具有空间各向同性的性质.但是，前者不具有“各向同性”；后者不具有“均匀性”.我们宇宙在大尺度上的直观物理图像，如图1.1所示.图像中左上角的一小块区域被逐级放大.在我们看到*后一级放大图像中，物质空间分布既不均匀也不各向同性.而在没有被放大的背景图片中，每一点，统计地看来，都是一样的；选取图片中任意一点后，以该点为圆心向各个方向看去，也都是一样的.这里要强调的是，上面的描述虽然抓住了主要矛盾，但是并不太严谨.更为准确的，应该是：“对于一个共动观测者而言，宇宙在大尺度上，是均匀且各向同性的.”相比于之前的描述，这里强调了宇宙学原理的成立是针对特殊的坐标系，即“共动观测者”.这是由于，以 CMB 为代表的天文观测数据，将我们带入了“精确宇宙学”时代.目前，我们的观测精度已经可以区分不同观测者与“共动观测者”之间的差异.如图1.2所示，*上一幅图显示的是宇宙背景探测器(Cosmic Background Explorer， COBE)卫星测量到的全天各向同性的温度为2.7255 K 的背景辐射；而中间一幅图，显示的是天球上各点相对于2.7255 K 在千分之一精度上的差值；而*下一幅图，跟中间一幅图的意义相似，只不过是在十万分之一的精度上的差值.而我们所经常提到的 CMB 的各向异性信号通常是指的*下一幅图的结果.但是，试想一下，如果你去做 CMB 实验，你在数据分析过程中首先看到的是中间这个千分之一的信号.这是一个“偶极矩”信号，原因就是卫星所在的坐标系(可以近似认为是随着银河系共动的坐标系)相对于 CMB 的静止坐标系有着一个大约300 km/s 的相对运动速度.由简单的多普勒红移关系可知，由此产生的温度变化正比于 v/c，约为10.3.因此，可以说，我们银河系内的观测者，在千分之一的精度之下，不满足宇宙学原理. 　　图1.1千禧年(Millenium)模拟(simulation)所展示的宇宙大尺度结构的物理图像[10].图像中左上角的一小块区域被逐级放大.在我们看到*后一级放大图像中，物质空间分布既不均匀也不各向同性.而在没有被放大的背景图片中，每一点，统计地看来，都是一样的；选取图片中任意一点后，以该点为圆心向各个方向看去，也都是一样的. 　　图1.2 COBE 卫星数据结果所显示 CMB 温度的各向异性[11]. 　　*后，要给出一点关于“宇宙大尺度”这个定语的感性认识.宇宙学所感兴趣的空间尺度，基本上就是图1.1所描绘的尺度.而在该图中，每一个肉眼可分辨的点，其空间尺度都要比星系的尺度要大. 　　1.2 FLRW 度规① 　　这一节，我们首次接触到引力的相对论刻画.不同于高中时期所学的牛顿万有引力，这里我们用“场论”的语言来刻画引力，而非直接用“力”的语言②.爱因斯坦的广义相对论(General Relativity，GR)自1915年提出后，一个多世纪以来经受住了来自方方面面的实验和观测检验，被确立为标准的引力理论，正在并且将会接受当前以及未来更为精确、更为全方位的检验.本书无意全面介绍广义相对论或是其他引力理论，只是简单地介绍后面可能会涉及的概念和计算. 　　广义相对论是建立在概念更为基础和广泛的“微分几何”的基础之上的.几何学中，有一个*为基本的量，叫做“度规”(metric)，其本质就是“距离的测量”.本书中，与“微分几何”相关的概念只限于此.所以，后面我们不加区分地将“微分几何”认同为“度规理论”(metrictheory)，即一个定义了度规的流形(manifold) ③. GR 创立一百年来，某种意义上讲，人们总共求得了两个解：一个是 FLRW 解，一个是黑洞解.前者创立了宇宙学，后者创立了黑洞物理.这两个“解”其实不是真正数学意义上的方程的解，而是满足某种对称性的一类解所具有的共通的参数化形式.前者的对称性是空间均匀性和各向同性，而后者的对称性则是空间球对称或是轴对称. FLRW 度规可表达成为如下形式: 　　(1.1) 　　其中，a(t)被称为标度因子，用以刻画三维空间的大小，与红移具有关系是三维空间的度规，按照拓扑可以分为平、开、闭三种情况，分别对应于三维欧氏空间、三维马鞍面和三维球面.可以看到，原本 gμν中10个既依赖于时间又依赖于空间的场，现在由于对称性的帮助，约化为1个只依赖于时间的量.而标度因子随时间解则需要进一步求解引力场方程才可以.但到目前为止，我们所有的结果都只依赖于对系统对称性的分析，不依赖于引力理论的具体形式. 　　正如图1.3所示，度规理论的刻画范畴是超越具体的引力理论的.不同的引力理论的引力场方程不同. 　　图1.3度规理论和广义相对论的关系. 　　此外，需要说明的是，宇宙学常用的时间坐标有 t 和τ(有时也写作η)，前者称为坐标时，后者称为共动时间.有些文献中也将坐标时称作物理时间.这里，我们避免这种说法，因为“物理”二字往往会让人感觉这个时间具有物理上可测量的意义.这里我们不是否认这种说法，而是感觉一旦牵扯到测量，很多细节需要指定，这会无端的引入概念上的不清晰.而我们所称的坐标时，其数学意义则明确的多，就是我们前述满足宇宙学原理的共动观者在度规方程(1.1)定义的坐标系下的时间.