Hilbert型不等式的理论与应用(上)

第1章经典Hilbert不等式与预备知识 1.1经典Hilbert不等式及等价形式 1908年，H.Weyl在文(Weyl，1908)中证明了著名的Hilbert级数不等式:设{an}与{bn}是两个实数列，若 则有 (1.1.1) 1911年，Schur在(Schur，1911)中证明了(1.1.1)式中的常数因子π是*佳值，即 同时，Schur还证明了积分形式的Hilbert不等式:设f(x)与g(x)是可测函数，若 则有 (1.1.2) 其中的常数因子π仍是*佳值. 1925年，Hardy与Riesz在(Hardy，Riesz，1925)中引入一对共轭参数，分别将(1.1.1)和(1.1.2)推广为更一般的形式:设{an}和{bn}是无穷非负实数列，满足条件 则有 设f(x)与g(y)是非负可测函数，满足条件: 则有 (1.1.4) 其中(1.1.3)和(1.1.4)中的常数因子都是*佳的. 设r>1，定义 则由(1.1.3)和(1.1.4)可得 ∞Xn=1 (1.1.6) 我们称(1.1.5)和(1.1.6)分别为经典的Hilbert级数不等式和经典的Hilbert积分不等式. Hilbert不等式是分析学中重要的不等式，具有重要的理论意义和应用价值. 下面给出(1.1.5)和(1.1.6)的等价不等式: (1.1.7) (1.1.8) 事实上，若(1.1.6)成立，令 根据H.lder不等式，有 于是可得 从而可得(1.1.8). 反之，若(1.1.8)成立，根据H.lder不等式，有 故(1.1.6)成立.从而(1.1.8)与(1.1.6)等价. 类似地，可证(1.1.5)与(1.1.7)等价. 1.2Hilbert型不等式与*佳常数因子 设 定义1.2.1 (1.2.1) 为Hilbert型积分不等式，称为不等式的核，M称为常数因子. 定义1.2.2若存在常数M0满足 其中，则称M0是Hilbert型积分不等式(1.2.1)的*佳常数因子. 当m=n=1时，得到一维情况下的Hilbert型积分不等式: 定义1.2.3设 (1.2.2) 为Hilbert型级数不等式，K(m，n)称为不等式的核.称为*佳常数因子. 定义1.2.4设 (1.2.3) 为Hilbert型混合不等式或半离散Hilbert型不等式. n=1时的混合Hilbert型不等式为 对Hilbert型不等式的研究主要有以下几个方面. (1)对某个具体的核，讨论其相应的Hilbert型不等式及*佳常数因子.这种问题是几十年来讨论的主要问题. (2)引入多个参数后，讨论Hilbert型不等式取*佳常数因子的等价参数条件，这是更具深刻性的向题. (3)针对齐次核的情况，讨论构建Hilbert型不等式的等价参数条件，并求出*佳常数因子，这种问题从更高层次上研究Hilbert型不等式的结构特征及一般理论. (4)针对非齐次核情况，讨论构建Hilbert型不等式的等价参数条件，这是更加困难的问题. (5)讨论Hilbert型不等式在算子理论中的应用. 例1.2.1设 (1.2.4) 其中的常数因子pq是*佳值. 证明 同理可得 根据不等式，有 若pq不是(1.2.4)的*佳常数因子，则存在常数M0<>