概率论与数理统计(第三版)

第1章随机事件及其概率 在自然界和人类社会中存在两类不同的现象，即确定性现象和不确定现象.所谓确定性现象，是指事前可以预知一定条件下具体结果的现象.早期的科学研宄主要是基于数学分析、几何、代数、微分方程等数学工具揭示确定性现象的规律性.例如，一个质点在t秒钟沿着直线移动的距离为S(t)，则该质点移动的速度肯定是;不确定现象的结果是多种多样的，事前无法预测哪一个结果会发生.随机现象和模糊现象是两类主要的不确定现象.随机现象是刻画有多个可能结果的现象，但哪一个结果会出现，在试验之前无法预知.例如，投资某一股票，可能赚钱，可能亏本，也可能保本，*终结果宄竟是赚钱、亏本还是保本，事前无法确定，这是一个随机现象.模糊现象是指概念外延的不确定性，从而造成判断的不确定性.例如，一个人是19岁，我们说他是青年人；当他是20岁时，我们还说他是青年人；那么，当他是45岁时，我们还说他是青年人吗？50岁呢？因为青年人的外延是不清晰的，所以这导致了人们判断的不确定性，这是一种有别于随机现象的模糊现象. 随机现象不能理解为“碰巧的现象”“出乎意料的现象”，它蕴含着0内在必然性的规律.人们通过长期的反复观察和实践发现，尽管对随机现象进行一次或少数几次观察的结果具有不确定性，但在相同条件下进行大量重复观察时，观察结果又遵循某种规律.例如，投掷质地均匀的硬币多次，正面和反面出现的次数之比接近1:1;近代遗传学奠基人孟德尔用豌豆做试验，结果表明显性和隐性性状（子叶的颜色、种子的性状和茎的高度）之比接近3:1;某射手射击次数足够多时，弹着点关于目标的分布略呈对称性，偏离目标远的弹着点比偏离目标近的弹着点少；等等.这种在大量重复观察中呈现出的规律性称为统计规律性，它是随机现象本身所固有的、不随人们意志而改变的客观属性.概率论与数理统计就是研宄和揭示随机现象统计规律性的数学分支. 本章部分内容在《普通高中数学课程标准（2017年版)》（以下简称高中新课标）数学教材中己有介绍，这里从不同的角度进行阐述，以期全面系统地了解和认识概率论的基本知识. 1.1随机试验与随机事件 1.1.1随机试验与样本空间 为了研究统计规律性，需对随机现象进行大量重复的观察或试验，我们称为随机试验（random experiment)，简称试验，用字母E表示.随机试验有以下三个特点： (1)可以在相同条件下重复进行； (2)每次试验的可能结果不止一个，并且所有可能的结果是事先已知的； (3)每次试验的结果恰是这些可能结果中的一个，但在一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 今后，如不特别说明，本书中所提及的试验都是指随机试验. 对随机试验，我们感兴趣的是试验结果.例如，掷一枚骰子，能够直接观察到的可能出现的基本结果是1，2，3，4，5或6点，且这些结果在一次试验中不会同时出现.这种可能出现的基本结果称为样本点，用u表示.样本点全体构成的集合称为样本空间丨sample space)，用表; 例1试验五1:将一枚硬币连掷两次，观察正反面出现的情况，则样本空间. 例2试验五2:将一枚硬币连掷两次，观察正面出现的次数，则样本空间认. 例3试验E3-.记录某大型超市一天内进入的顾客人数.由于人数可能很多，难以确定一个合适的上界，因此，取样本空间. 例4试验E4:某射手打靶，测量其弹着点与靶心的距离，则样本空间. 需注意的是，对一个具体的随机试验来说，样本空间并不唯一，它依赖于试验目的.例如，试验玢和e2都是将一枚硬币连掷两次，但由于试验目的不一样，两个样本空间截然不同.通过进一步的学习我们将会发现，正是样本空间构建上的灵活性给解决实际问题带来了很大方便.对于具体问题，怎样选取一个恰当的样本空间是值得研宄的，也是解题的关键. 1.1.2随机事件 进行随机试验时，人们常会关心具有某种特征的样本点构成的集合.例如，掷一枚骰子，人们关心是否“掷出偶数点”，这是一个可能发生也可能不发生的事件，我们称它为随机事件（random event)，它涉及样本空间中的三个样本点，即样本空间. 由此可见，随机事件是试验中可能出现也可能不出现的结果，是由某些样本点构成的集合，或者说是样本空间的一个子集.随机事件是概率论*基本的概念之一，也简称事件，用字母A，B，C， 表示. 例5掷两枚骰子，观察点数.若用a;表示**枚骰子出现的点数，y表示第二枚骰子出现的点数，则试验的样本空间为 的某些子集构成以下事件： 先=“点数之和等于2”={(1，1)}，该事件只包含单个样本点，这说明一个样本点本身就是一个随机事件； 事件对应于样本点的集合，对任一事件4来说，一个样本点要么属于4要么不属于A若随机试验出现的基本结果（即样本点）就称事件A发生; 反之，一个试验发生了结果A，就意味着4所包含的某个样本点恰为试验的结果.如例5中两枚骰子掷出（5，5)，则事件发生，事件先，A没有发生. 如果一个随机事件只包含一个样本点，则称此事件为基本事件.换句话说，随机试验的每一个可能的结果（对应于一个样本点）就是一个基本事件，因此，有些书中直接称样本点为基本事件.由若干基本事件组合而成的事件称为复合事件.例如，A!是基本事件，A2和都是复合事件. 从集合论的观点来看，一个随机事件就是样本空间D的一个子集.样本空间n含有两个特殊的子集，一个是d本身，另一个是空集0.为了方便研宄，可将两者视为随机事件的极端情形.d包含了所有可能的样本点，在每次试验中它总是发生，称d为必然事件;0不包含任何样本点，在每次试验中它总是不发生，称0为不可能事件.例如，掷一枚殺子，“出现点数不超过6”是一个必然事件，“出现7点”是一个不可能事件. 1.1.3样本空间的容量及事件数 在具体问题中，了解样本空间是研宄随机现象的**步.样本空间的构成有时很简单，有时也相当复杂.例如，将一枚硬币连掷5次，观察正反面出现的情况，此时罗列所有的样本点将是非常繁重的工作，幸好一般情况下不必如此，只需知道样本点的个数即可. 样本空间包含的样本点个数称为容量，记为JHfT).若容量有限，就是有限样本空间，如试验EuE2中的仏，Q2.有限样本空间是*简单的样本空间，研宄它有助于深入分析更为复杂的样本空间. 若样本空间包含无穷多个样本点，即无限样本空间，此时又可细分为两类：**类包含无穷但可列个样本点，如馬中的Ob，这类空间的性质类似于有限样本空间；第二类包含无穷但不可列个样本点，如及中的d4. 类似地，事件作为样本空间的子集，包含的样本点个数可以是有限个，也可以是无穷多个.随机事件包含的样本点个数称为事件数，用，等表示.例如，E3中令事件A为“顾客人数小于100”，则JV(⑷=100;E4中令事件B为“弹着点与靶心的距离大于2cm”，则。 1.2事件间关系及运算 在一个样本空间中可以有很多的事件，不同的事件有各自不同的特性，彼此之间又存在一定的联系.对事件之间关系的研宄，有助于我们认识随机现象的本质，简化复杂事件的概率计算.由于事件是一个集合，因此，事件之间的关系和运算可以按照集合之间的关系和运算来处理. 设试验E的样本空间为/?，A，S，小，=1，2， ）为中的事件. 1.2.1事件的运算 1.事件的并 “事件4与事件B中至少有一个发生”，称为4与S的并事件或和事件，记作AUS或A+B.这个事件发生等价于事件A发生或事件B发生.图1-1中阴影部分即为AUR显然. 类似地，“事件中至少有一个发生”，称为事件的并事件，记作GAk.这个事件发生等价于事件发生，或事件乂2发生，或事件An发生. 无穷个事件本A1，A2，A3， 的并事件，定义为“A1，A2，A3中至少有一个发生”的事件. 例1掷一枚骰子，用Afc表示“出现k点”，设事件A为“出现奇数点”，则A=為lU43UA5，即4是“出现1点”、“出现3点”和“出现5点”这三个事件 1.2事件间关系及运算 2.事件的交 “事件A与事件B同时发生”，称为A与s的交事件或积事件，记作Ans或. 例2随机地抽取一长方形工件进行检验，令4表示“长度合格”，B表示“宽度合格”，1表示“产品合格”，则戾=AB. 类似地，“事件AhA， ，An同时发生”，称为事件 ，的交事 3.事件的差 “事件A发生而事件B不发生”，称为A与S的差事件，记作AS(图1-3). 在例2中，令戌表示“只有长度合格” 1.2.2事件的关系 1.包含 若事件A发生必导致事件B发生，则称事件A包含于B或S包含A，记作AcB或(图1-4).AcB意味着A所包含的样本点都属于B. 对任一事件必有. 2.相等 若且则称A与B相等，记作A=B. 相等意味着4和S是同一个事件，它们包含的样本点完全相同. 3.互不相容 若事件A与事件B不能同时发生，即AS=0，两个事件没有公共的样本点，则称A与S是互不相容或互斥事件（图1-5).例如，掷骰子试验中，“出现偶数点”与“出现奇数点”是两个互不相容事件. 则称这n个事件互不相容.可见n个事件，互不相容，一定是两两互不相容的事件.例如，样本空间D中的各个样本点就是互不相容的事件. 4.互逆 对于事件4，“事件A不发生”也是一个事件，称为义的逆事件或对立事件，记作A它是由中所有不属于A的样本点组成的事件（图1-6).显然. 由定义不难看出，A=Q-A，并且逆事件是相互的，A也是Z的逆事件，即1A特别地，D和0互为逆事件. 1.2.3事件的运算规律 与集合论中集合的运算一样，事件之间的运算满足下面的运算规律. (1)交换律： (2)结合律： ABC二 分配律：