几何学的力量

对像我这样的数学专业人士来说，当看到人们被互联网上的一道数学问题难住，一两天都不得其解时，这绝对是一大乐事。我们愿意看到其他人发现并享受我们一生都乐在其中的思维模式。如果你有一座非常漂亮的房子，那你肯定喜欢有人意外来访。以这种方式出现的问题通常都是好问题，尽管它们一开始看起来可能很无聊。而吸引你注意力的东西是，那种与一个真正的数学问题不期而遇的感觉。例如，一根吸管上有多少个洞？我问过的大多数人都认为这个问题的答案显而易见。但是，在得知某些人眼中显而易见的答案与自己的答案不同时，他们都表现得非常惊讶，有时甚至有点儿愤愤不平。这是“You’ve got another think coming”（你错了，再好好想想吧）与“You’ve got another thing coming”（你还有一件事要做）的数学版辨误问题。据我所知，“一根吸管上有多少个洞？”的问题*早出现在《澳大利亚哲学杂志》（Australasian Journal of Philosophy）于 1970 年刊登的一篇论文中，斯蒂芬妮·刘易斯和戴维·刘易斯夫妇在这篇文章中讨论的管状物是一个纸巾卷筒。2014 年，这个问题以民意调查的形式再次出现在一个健身论坛上。其争论的腔调与《澳大利亚哲学杂志》不同，但争议的内容是一样的。“0 个洞”、“1 个洞”和“2 个洞”的答案都得到了不少人的支持。随后，Snapchat（色拉布，一款“阅后即焚”的照片分享应用）上出现了一段视频：因为 2 个洞和 1 个洞的争论，两名大学生好友变得火冒三丈、怒目相向。这段视频不断传播，*终的浏览量超过 150 万次。吸管问题在Reddit（红迪网，一家社交新闻网站）和推特上也风靡一时，还登上了《纽约时报》。BuzzFeed（一家新闻聚合网站）的一群年轻、有魅力的员工对这个问题备感困惑，他们为此拍摄了一段视频，也收获了几十万次的点击量。你可能已经开始思考那几个主要的观点了，让我们把它们罗列出来吧：0个洞：把一块长方形的塑料卷起来，然后用胶水将接口处粘住，一根吸管就做好了。长方形塑料上没有洞，当你把它卷起来时，也不会在上面留下任何洞。所以，它仍然没有洞。1个洞：这个洞就是吸管的中空部分，从顶端一直延伸到底端。2个洞：看一眼就知道了！吸管的顶端有1个洞，底端也有1个。我的**个目标是让你相信这些洞确实会让你感到困惑，即使你不这样认为。原因在于，上述三种观点都存在严重的问题。我先来驳斥“0 个洞”观点的支持者。有些东西即使不被移除任何部分，也可以产生洞。做百吉圈（一种硬面包）时，我们并不是先做比亚利面包卷，然后在中间打洞，而是先把面团揉搓成蛇形，然后将其两端相连，百吉圈就做成了。如果你否认百吉圈上有个洞，那么毋庸置疑，你会遭到纽约、蒙特利尔和世界各地的任何一家正宗熟食店的嘲笑。关于“2个洞”的观点呢？这里有一个问题要考虑：如果一根吸管上有2个洞，那么其中一个洞的洞底在哪里？另一个洞的洞口又在哪里？如果你不介意，可以想象有人让你数一块瑞士干酪上有多少个洞，你会分别计数干酪顶部的洞和底部的洞吗？或者，把吸管底端的洞堵住，这样一来，“2 个洞”观点的支持者所说的底端那个洞就消失了。从本质上讲，现在这根吸管变成了一个又高又细的杯子。杯子上有洞吗？是的，你会说它顶部的开口就是一个洞。好吧，如果这个杯子变得越来越短、越来越粗，*终变成一个烟灰缸呢？当然，我们不会把烟灰缸的上缘称作“洞”。但是，如果这个洞是在从杯子到烟灰缸的变化过程中消失的，那么它到底是何时消失的呢？你可能会说，烟灰缸上仍然有 1 个洞，因为它有一个凹陷处或一个负空间，那里可以容纳物质，但实际上没有任何物质。你坚持认为洞不一定要“贯穿到底”，那你不妨“思考一下，我们说地上有个洞，是什么意思呢？”。这是一个公平合理的反对理由，但我认为，如果我们在什么算作洞的标准问题上过于宽松，而把任何凹陷都当成是洞，就会让这个概念失去有效性。当你说水桶上有个洞时，你指的并不是它的底部有个凹陷处，而是它会漏水。同样地，即使你在比亚利面包卷上咬一口，它也不会变成百吉圈。至此，还剩下“1个洞”的观点，它是三个备选项中支持人数*多的一个。现在，让我来告诉你它有什么问题。当我问我的朋友凯利关于吸管的问题时，她直截了当地否定了“1个洞”的观点：“这是否意味着嘴巴和肛门是同一个洞？”（凯丽是一名瑜伽教练，所以她倾向于从解剖学的角度看问题。）毫无疑问，这是一个公平合理的问题。但是，我们假设你有足够的勇气接受“嘴巴 = 肛门”这一等式。即便如此，挑战依然存在。下面是那两名大学生在Snapchat视频中的一个场景（不过说实在的，你还是自己去看吧，我无法通过文字和舞台指示完美地呈现出他们怒气越来越盛的过程），其中1号兄弟支持“1个洞”的观点，2号兄弟则支持“2个洞”的观点。2号（拿起一个花瓶）：这上面有多少个洞？ 1个洞，对吧？［1号默默地同意了。］2号（拿起一个纸巾卷筒）：这上面有多少个洞？1号：1个。2号：理由呢？（再次拿起那个花瓶）它们看上去一样吗？1号：因为如果我在这里（在花瓶底部做了一个手势）打 1个洞，它还是只有 1个洞！2号（被激怒了）：你刚才说，如果我在这里打 1个洞。［气得直喘粗气］1号：如果我在这里再打 1个洞，它就有……2号：对——再打 1个洞，加上这个洞，共有 2个洞！到此为止吧！在这个场景中，支持“2个洞”观点的那位兄弟似乎表达了一个非常合情合理的原则：在某个物体上打一个新洞，洞的数量就应该增加一个。我们再来看一个更难的题目：一条裤子上有多少个洞？大多数人给出的答案都是3个：裤腰上有1个洞，裤腿上有2个洞。如果你把裤腰缝合起来，就会得到一根由牛仔布做成的特大号吸管，上面还有一个弯儿。如果一开始有3个洞，你缝合其中的1个，应该还剩下2个而不是1个，对吧？如果你坚持认为一根吸管上只有1个洞，那你也许会说一条裤子上只有2个洞。在你缝合裤腰之后，裤子上就只剩下1个洞了。这是我经常听到的答案，但这个答案与“一根吸管上有2个洞”的观点面临着同样的问题：如果一条裤子上有2个洞，它们在哪里？其中一个洞的洞底和另一个洞的洞口又在哪里？或者，你可能认为一条裤子上只有1个洞，因为你所说的洞是指裤子内部的负空间区域。如果我把牛仔裤的膝盖部位撕破，制造出一个新洞，这样做会影响洞的数量吗？你坚持认为不会，裤子上仍然只有1个洞，人为地把牛仔裤撕破不过是给那个洞制造了一个新的开口。缝合裤腰或堵住吸管底端，并不会让洞消失，只是封闭了洞的出口或入口。但这又把我们带回到不得不说烟灰缸上有1个洞的问题。更糟糕的是，假设我有一个膨胀的气球。根据你的说法，这个气球上有1个洞，即气球内部加压空气占据的区域。如果我拿一根大头针在气球上戳一个洞，气球就会爆炸，只留下一个橡胶圆盘，也许上面还有一个结，但显然没有洞。也就是说，某个东西上本来有1 个洞，你又在上面戳了1个洞后，它反而一个洞也没有了。你现在感到迷惑不解了吗？我希望如此！数学无法确切地回答这个问题，因为它不能告诉你“洞”的词义（这取决于你和你使用的语言）。但它会告诉你有哪些意思是你能够表达的，这样至少可以避免你被自己的假设绊倒。让我用一个富有哲理的口号开启我们的讨论吧：一根吸管上有2个洞，但它们是同一个洞。