数学分析(上册)

第1章集合与函数 数学分析的主要内容是微积分，它的研究对象是实函数.本章主要介绍集合的基本概念及运算、实数系的连续性与函数的表示方法、运算及函数的简单性质.本章的难点是实数系的连续性，希望读者能理解其本质特征及描述方法. 1.1集合 集合论的基础是由德国数学家康托尔（Cantor）奠定的，后经过许多卓越的数学家近半个世纪的努力，确立了其在现代数学理论体系中的基础地位.从19世纪末到20世纪初，集合论语言成为*通用的数学语言，有学者甚至把“数学就是研究集合上各种结构（关系）的学科”作为数学的定义.本节主要介绍集合的基本概念与运算. 1.1.1集合的概念 所谓集合（简称集），是指具有某种特定性质的对象汇集成的总体，这些对象称为该集合的元素.集合通常用大写字母等表示，元素通常用小写字母a，b，c，x，y等表示. 若x是集合X的元素，则称a;属于X，记为:ceX.若y不是集合X的元素，则称y不属于X，记为y朱X. 习惯上，我们通常用N+，Z，Q，R分别表示正整数集、整数集、有理数集、实数集. 集合的表示方式通常有两种.一种是列举法，它是将集合中的元素全部列出，例如，由三个元素a，b，c组成的集合可以表示为A={a，b，c}，正整数集N+可以表示为N+={1，2，3， ，n， }，整数集Z可以表不为Z={0，±1，±2，±3， ，另一种是描述法.若集合A是由具有性质P的元素的全体所构成的，则A可表示为A={x|x具有性质P}.例如由5的平方根组成的集合可表示为A={x|x2=5}，有理数集可表示为 有一类特殊的集合，它不包含任何元素，如，称之为空集，记为.　 在本课程的学习中，经常会遇到以下形式的实数集R的子集:闭区间 开区间 左闭右开区间 左开右闭区间 1.1.2包含关系 若集合4的所有元素都属于集合B，则称B包含A，记为ACS，此时也称A是B的子集.若集合A与集合B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记为A=B 若且则称A是B的真子集. 为了叙述方便，本书引入两个常用记号V和3:V表示“任意一个”；表示“存在 利用上述记号，我们可以将Acs的定义表述为： 1.1.3集合的运算 给定集合A和B，定义如下运算（图1.1.1）: 设集合4是集合X的一个子集，称X\A为A关于集合X的补集，记为Ac. 容易验证，集合的运算具有下列性质： (1）交换律 (2）结合律 (3）分配律 (4）对偶律（DeMorgan公式） 1.1.4有限集与无限集 若集合A只有有限个元素，则称集合A为有限集，不是有限集的集合称为无限集. {a，b，c}，{x|x2=1}都是有限集.Z，Q，R都是无限集. 如果一个无限集中的元素可以按某种规律排成一列，或者说可表示为 则称该集合为可列集，例如整数集Z是可列集. 无限集不一定是可列集（后面我们将证明实数集R是不可列的），但每个无限集一定包含可列子集. 注要证明一个无限集是可列集，关键是构造出一种排列规则，使得按此规则，集合的所有元素可以无重复也无遗漏地排成一列. 例1.1.1整数集Z是可列集. 证明因为整数集z可以按规则 排成一列，根据可列集的定义，整数集Z是可列集. 设A是可列集，n=1，2，3， ，定义它们的并为 定理1.1.1可列个可列集之并也是可列集. 证明对每个正整数n，设是可列集，不妨设可表示为 则的所有元素可排列成下面无穷矩阵的形式： 下面，我们采用对角线法则，将上面的所有元素无重复也无遗漏地排成一列，具体排法如下：从左上角开始，依次按照每条“对角线”（如图中箭头所示），将元素从左下至右上的次序排列为 上面的对角线排列，可以保证矩阵中的每个元素不会遗漏. 注意到两个不同的集合Afc与為（fc#I），它们的交集可能非空，这样可能会导致有些元素在对角线排列中多次出现.如果我们只保留**次出现的数，而把后面重复出现的数去掉，那么这样形成的排列就会无重复也无遗漏地表示了集合，从而证明了为可列集. 证毕 例1.1.2有理数集Q是可列集. 证明由于（-oo，+oo）可以表示为可列个区间的并，令求表示中有理数的全体，要证每个是可列集，我们只需证明:区间（0，1]中的全体有理数是可列集. 由于中的元素可唯一地表示为既约分数，其中且互质.我们将中的元素排列如下： 分母p=1的既约分数只有一个，记为a11=1； 分母p=2的既约分数只有一个，记为 分母p=3的既约分数只有两个，记为 一般地，分母p=n的既约分数不超过n个，将它们记为，其中为正整数.从而区间中的有理数可按如下方式排成一列： 根据可列集的定义，A0为可列集，从而为可列集.由定理1.1.1知，有理数集Q为可列集. 1.1.5集合的笛卡儿乘积 设是任意两个集合.任取，组成一个有序对(x，y）.把这样的有序对作为新的元素，它们全体组成的集合称为集合A与集合B的笛卡儿(Descartes）乘积或直积，记为A×B即 当集合A与集合B都是实数集R时，RxR(记作R2）表示平面直角坐标系下用坐标表示的点的集合. 类似地，我们可以定义多个集合的笛卡儿乘积或直积. R×R×R(记作R3）表示空间直角坐标系下用坐标表示的点的集合. 习题1.1 1.证明： 2.证明： 3.设 4.设 1.2实数 微积分是17世纪下半叶由牛顿（Newton）和莱布尼茨（Leibniz）创立的，其主要研究对象是实函数，即自变量为实数且在实数中取值的函数.微积分的诞生，解决了许多过去被认为是高不可攀的难题.但是在很长一段时间，微积分一直未能为自己的方法提供逻辑上严密的、无懈可击的理论说明，这也引起了人们长达一个多世纪的争论.直到19世纪初，柯西（Cauchy）才以极限理论为微积分奠定了坚实的基础.又过了半个世纪以后，康托尔（Cantor）和戴德金（Dedekind）通过仔细研究发现，极限理论的某些基本原理，实际上依赖于实数系的一个重要性质——连续性. 1.2.1实数的无限小数表示与顺序 1.数系的发展历史 若一个集合中的任意两个元素进行某种运算后，所得的结果仍属于这个集合，则称该集合对这种运算是封闭的.人类认识的**个数系是自然数系其基本特征是“可数的”或“离散的虽然它对于计数来说是够用了，但是它不是一个完善的数系.一方面，作为量的描述手段，它只能表示一个单位量的整数倍，而无法表示此单位量的部分，由此可见自然数系不足以度量物体的长短，这是因为长短是连续变化的，这种“连续”变化的量自然不能完全通过上述“可数的”或“离散的”量来表示.另一方面，虽然自然数系N对于加法与乘法运算是封闭的，但对于减法运算不封闭.为保证自然数系N对减法运算封闭，人们引进了负数，把自然数系扩充成整数系Z.尽管整数系Z对加法、减法与乘法运算封闭，但它对于除法运算不封闭，于是人们又把整数系Z扩充为有理数系 有理数系Q的一个重要性质就是稠密性，即对任意有理数与，必存在有理数c，使得.这个结果是明显的，事实上，令则为有理数且.由此可以推出，任意两个不同的有理数之间，总有无穷多个有理数存在。 在建立了数轴后，整数系Z的每一个元素，都能在数轴上找到与之对应的点，这些点称为整数点.每一个有理数x二也能在数轴上找到自己相对应的点，这些点称为有理点.以上讨论表明：有理点是密密麻麻分布在数轴上，我们形象地称有理数系具有稠密性. 但有理数系Q仍然不是一个完善的数系.例如，若用c表示两条直角边均为1的直角三角形的斜边的长度，则就无法用有理数来表示.事实上，假若为有理数，不妨设力=\其中且，互质，则.所以必为偶数，从而q也为偶数，不妨设，于是，由此得到也为偶数，这与，互质相矛盾，所以C二不是有理数.由此可见，虽然有理