分数阶微积分学:数值算法与实现

第 1章分数阶微积分学简介 1 1.1分数阶微积分学的历史回顾 1 1.2自然世界中的分数阶现象与模型举例 4 1.3分数阶微积分计算的历史回顾 5 1.3.1分数阶微积分的数值计算 5 1.3.2分数阶常微分方程的数值计算 6 1.3.3分数阶偏微分方程的数值计算 7 1.4分数阶微积分与分数阶控制工具简介 8 1.5本书的结构 9 1.5.1本书的主要内容与要点 9 1.5.2阅读本书的建议 11 参考文献 12 第 2章常用特殊函数的定义与计算 17 2.1误差函数与补误差函数 17 2.2 Gamma函数 19 2.2.1 Gamma函数的定义与性质 20 2.2.2复数的 Gamma函数 23 2.2.3 Gamma函数的其他表现形式 23 2.2.4不完全 Gamma函数 24 2.3 Beta函数 24 2.3.1 Beta函数的定义与性质 24 2.3.2不完全 Beta函数 27 2.4 Dawson函数 27 2.5超几何函数 29 2.6 Mittag-Leffler函数 32 2.6.1单参数 Mittag-Leffler函数 32 2.6.2双参数 Mittag-Leffler函数 34 vi分数阶微积分学——数值算法与实现 2.6.3多参数 Mittag-Leffler函数 39 2.6.4 Mittag-Leffler函数与超几何函数的关系 39 2.6.5 Mittag-Leffler函数的导数 40 2.6.6 Mittag-Leffler函数及其导数的数值运算 43 本章习题 44 参考文献 46 第 3章分数阶微积分：定义与计算 47 3.1分数阶 Cauchy积分公式 48 3.1.1 Cauchy积分公式 49 3.1.2常用函数的分数阶微分与积分公式 49 3.2 Grünwald–Letnikov分数阶微积分定义与计算 50 3.2.1高阶整数阶导数的推导 50 3.2.2 Grünwald–Letnikov分数阶微分的定义 50 3.2.3 Grünwald–Letnikov分数阶微分与积分的数值计算 51 3.2.4 Podlubny的矩阵算法 58 3.2.5短时记忆效应及其探讨 59 3.3 Riemann–Liouville分数阶微积分定义与计算 62 3.3.1高阶整数阶积分公式 63 3.3.2 Riemann–Liouville分数阶微积分定义 63 3.3.3常用函数的 Riemann–Liouville微积分公式 64 3.3.4初始时刻平移的性质 65 3.3.5 Riemann–Liouville定义的数值计算 66 3.3.6 Riemann–Liouville微积分的符号计算 68 3.4 Caputo分数阶微积分定义 69 3.4.1 Caputo微积分定义 69 3.4.2常用的 Caputo导数公式 69 3.4.3 Caputo定义的符号运算 71 3.5各种不同分数阶微积分定义之间的关系 72 3.5.1 Grünwald–Letnikov与 Riemann–Liouville定义的关系 72 3.5.2 Caputo与 Riemann–Liouville定义的关系 73 3.5.3 Caputo分数阶微分的数值计算 73 3.6分数阶微积分的性质与几何解释 75 3.6.1分数阶微积分的性质 75 3.6.2分数阶积分的几何解释 77 本章习题 80 参考文献 82 第 4章分数阶微积分的高精度数值计算 83 4.1任意整数阶的生成函数构造 83 4.2高精度 Grünwald–Letnikov导数算法的尝试 87 4.2.1基于 FFT的算法 88 4.2.2系数计算的递推公式 90 4.3高精度 Grünwald–Letnokov算法与实现 95 4.3.1非零初值的分解与补偿 95 4.3.2高精度算法与实现 96 4.3.3算法的测试与评价 97 4.3.4再论矩阵算法 100 4.4 Caputo微分的高精度算法 100 4.4.1算法与实现 101 4.4.2算法的测试与评价 101 4.4.3基准测试问题求解 103 4.5更高阶分数阶导数的计算 105 4.5.1整数阶高阶导数的高精度算法 105 4.5.2高阶分数阶导数计算 107 本章习题 110 参考文献 112 第 5章分数阶微积分算子与系统的近似 113 5.1线性整数阶模型的表示与分析 114 5.1.1数学模型输入与处理 114 5.1.2时域与频域响应 115 5.1.3分数阶线性系统的建模与分析 115 5.2基于连分式的几种近似方法 116 5.2.1连分式近似 116 5.2.2 Carlson近似 118 5.2.3 Matsuda–Fujii近似 121 5.2.4拟合效果与滤波器参数选择的关系 123 5.3 Oustaloup滤波器近似 124 5.3.1常规的 Oustaloup近似 124 5.3.2一种改进的 Oustaloup滤波器 129 viii分数阶微积分学——数值算法与实现 5.4分数阶传递函数的整数阶近似 132 5.4.1分数阶传递函数的高阶近似 132 5.4.2基于模型降阶技术的低阶近似方法 135 5.5无理分数阶模型的近似 140 5.5.1隐式无理模型的近似 140 5.5.2频域响应近似方法 141 5.5.3 Charef近似 144 5.5.4复杂无理模型的 Charef滤波器设计 148 5.6离散滤波器近似 154 5.6.1 FIR滤波器逼近 155 5.6.2 IIR滤波器逼近 157 5.6.3基于阶跃或冲激响应不变性的离散滤波器 159 本章习题 161 参考文献 163 第 6章线性分数阶微分方程的解析解与数值解 165 6.1线性分数阶微分方程简介 165 6.1.1线性分数阶微分方程的一般形式 166 6.1.2不同定义下的分数阶导数初值问题 166 6.1.3一个重要的 Laplace变换公式 168 6.2一些线性分数阶微分方程的解析解方法 169 6.2.1线性单项分数阶微分方程 169 6.2.2双项分数阶微分方程 169 6.2.3三项分数阶微分方程 170 6.2.4一般 n项分数阶微分方程 171 6.3同元次线性微分方程的解析求解 172 6.3.1同元次微分方程的一般形式 172 6.3.2线性分数阶微分方程求解的一些常用 Laplace变换公式 174 6.3.3同元次微分方程的解析解 175 6.4零初值线性分数阶微分方程的闭式解算法 179 6.4.1闭式解算法 179 6.4.2分数阶线性模型的冲激响应 181 6.4.3分数阶微分方程数值解的检验 183 6.4.4基于矩阵的求解算法 184 6.4.5高精度闭式解算法 186 6.5非零初值线性 Caputo微分方程的数值解法 188 6.5.1 Caputo微分方程的数学描述 188 6.5.2 Taylor辅助函数算法 188 6.5.3 Caputo微分方程的高精度算法 191 6.6线性分数阶状态方程求解 197 6.6.1线性分数阶系统的状态方程描述 197 6.6.2状态转移矩阵 198 6.6.3非同元次系统的状态方程模型 201 6.7无理分数阶微分方程的数值解法 202 6.7.1无理分数阶传递函数描述 202 6.7.2基于数值 Laplace反变换的仿真方法 202 6.7.3闭环无理系统的时域响应计算 205 6.7.4任意输入信号的时域响应 207 6.8线性分数阶系统的稳定性判定 208 6.8.1线性同元次分数阶系统的稳定性判定 209 6.8.2非同元次系统的稳定性判定 211 6.8.3无理系统的稳定性判定 214 本章习题 216 参考文献 217 第 7章非线性分数阶微分方程的数值求解 219 7.1分数阶微分方程描述 220 7.1.1分数阶微分方程的一般形式 220 7.1.2同元次状态方程 221 7.1.3扩展状态方程 221 7.2非线性 Caputo微分方程的数值解算法 223 7.2.1标量型同元次方程的数值解方法 223 7.2.2向量型同元次 Caputo微分方程的求解 227 7.2.3分数阶扩展状态方程的数值求解 231 7.2.4基于代数方程求解的微分方程算法 237 7.3 Caputo微分方程的高效高精度算法 239 7.3.1预估方程 239 7.3.2校正求解方法 242 本章习题 244 参考文献 246 x分数阶微积分学——数值算法与实现 第 8章基于框图的分数阶微分方程求解 247 8.1 FOTF工具箱与模块集简介 247 8.1.1分数阶传递函数模块的输入与连接 248 8.1.2分数阶线性状态方程模型 250 8.1.3线性分数阶系统的分析函数 250 8.1.4 FOTF模块集 251 8.2零初值分数阶微分方程的框图解法 252 8.2.1 Simulink建模准则 252 8.2.2 Simulink的环境参数设置 253 8.2.3分数阶微分方程的 Simulink建模与求解 255 8.2.4非线性分数阶微分方程数值解的检验 261 8.3非零初值 Caputo微分方程的框图解法 262 8.3.1显式 Caputo微分方程的建模仿真方法 262 8.3.2分数阶状态方程的 Simulink建模 267 8.3.3阶次大于 1的状态方程处理方法 273 8.4分数阶反馈控制系统的 Simulink仿真 276 8.4.1分数阶传递函数模块 276 8.4.2分数阶 PID控制器及闭环系统仿真 276 8.4.3多变量控制系统的仿真 278 本章习题 280 参考文献 282 第 9章特殊微分方程的数值求解 285 9.1隐式微分方程 285 9.1.1隐式 Caputo微分方程的高精度矩阵算法 285 9.1.2隐式分数阶微分方程的数值解法 289 9.1.3基于刚性微分方程的求解方法 291 9.1.4隐式模块的逼近效果 292 9.2延迟微分方程的求解 294 9.2.1基本测试问题的设计 295 9.2.2历史函数的建模 295 9.2.3延迟微分方程的求解 296 9.3微分方程的边值问题求解 299 9.3.1边值问题的数学形式 299 9.3.2打靶法的化与代数方程建模 300 9.3.3 Simulink的快速重启设置 302 9.3.4边值问题的直接求解 302 9.4时间分数阶偏微分方程的数值求解 307 本章习题 314 参考文献 316 附录A分数阶微分方程求解的基准测试问题 317 A.1基准测试问题的数学描述与证明 317 A.1.1分数阶常微分方程初值问题 317 A.1.2分数阶微分方程的边值问题 322 A.1.3分数阶延迟微分方程 323 A.2基本测试问题 Simulink模块组 324 本章习题 325 参考文献 326 附录B分数阶和无理函数相关的Laplace反变换 327 B.1分数阶微积分学常用的特殊函数 327 B.2 Laplace反变换表 328 参考文献 330 附录C FOTF工具箱函数与模型 331 C.1基本计算函数 331 C.1.1特殊函数与其他数学问题计算与支持函数 331 C.1.2分数阶微积分数值计算 332 C.1.3滤波器设计 332 C.1.4线性分数阶微分方程求解 332 C.1.5非线性分数阶微分方程求解 333 C.2面向对象的程序设计 333 C.2.1分数阶传递函数的 FOTF类 333 C.2.2分数阶状态方程的 FOSS类 334 C.3 Simulink模型 335 C.3.1 Simulink的 FOTF模块集 336 C.3.2重要的可重用分数阶系统仿真模型 336 参考文献 336 索引 337