固体中的应力波理论与应用

**部分固体中弹性波基础理论与应用 　　从本质上讲，物体的静止是相对的、而运动是绝对的；任何力学问题实际上都是动力学问题，静态问题只是相对的，与时间完全无关的所谓纯粹静力学问题在严格意义上是不存在的。针对某一个特性体系而言，在没有外界扰动下，其一般处于某种稳定的静/动平衡态；当体系受到外部扰动后，势必会打破这种平衡，但随着时间的推进一般皆会逐渐趋于另一个稳定的静/动平衡态。然而，从受到扰动瞬间到重新达到另一个平衡态存在一个过程，不可能一蹴而就，因为没有任何扰动速度是无穷大的，只是其在介质中传播速度不同导致此过程持续时间的不尽相同而已。简单地讲，当介质中由于某种状态量出现变化时，会同时向相邻介质发出某种扰动信号，这种扰动信号也会引起相邻介质状态量发生改变，以此类推，这种扰动信号会由此及彼、由近及远传播，这种扰动信号的传播即形成波。 　　波是自然界中物质运动*本质和*普适的行为，也是物理学中*核心且*基本的概念之一；波的概念涉及物理学中各个尺度和各个层次，是自然界中扰动信号传播的*普遍和*重要现象之一。根据扰动传播信号性质即物理量特性的不同，波可以分为不同类型，如电磁波、应力波、光波等；其中，应力波是指介质中应力扰动信号的传播而形成的波，地震波、爆炸冲击波、爆轰波、声波等都属于常见的应力波。从数学描述形式上看，以一维应力波状态如一维杆中应力波的传播为例，对于任意物理量分，如果满足波动方程： 　　则该物理量在一维杆中以速度CU进行波动传播。 　　一般固体介质中应力波波速较大，如钢中弹性纵波声速约5190m/s。当我们所研究的或所观察的时间尺度相对于应力波传播持续时间已足够大时，即介质中的应力可视为瞬间平衡或均匀，此时材料或结构中的力学问题主要发生在应力平衡后的阶段，因而，可以忽略应力波传播所带来的影响，而着眼于应力平衡后的力学问题，即将问题视为静力学问题进行分析。而对于很多物理现象而言，如爆炸载荷，其在毫秒、微秒甚至纳秒时间尺度上扰动信号极大，且总持续时间极短，此时应力波的传播所带来的影响不可忽视，反而起着关键作用。 　　一般而言，在固体介质中，根据传播特点，应力波可以分为弹性波、塑性波、冲击波和爆轰波等，其中弹性波是相对*简单的一种波。本部分包含四章内容，主要分析与阐述典型特征的弹性介质中应力波传播、演化与相互作用的定性与定理特征；其中，波动方程的物理意义与求解方法、一维杆中弹性波传播与演化等相关知识及应力波理论必需的力学基础知识在本人所编著《固体中的应力波导论》中进行了详细的推导与阐述。为了更系统地阐述应力波理论知识，本书中对这些内容也进行简要介绍或进行更深入分析，对具体翔实推导过程感兴趣的读者可以参考《固体中的应力波导论》。 　　一般而言，固体中的应力波问题比较复杂，在大多数情况下无法给出准确的解析解，但有些简单情况和在某些假设的基础上，我们可以给出一些有价值的结论和解。本章在连续介质守恒条件的基础上，对几种典型且重要的情况下，弹性固体介质特别是线弹性固体介质中应力扰动的波动特征、应力波传播及其演化特性进行分析、推导与阐述。 　　1.1连续介质运动的守恒条件 　　介质中应力波产生、传播及相关问题与定律并不限于固体还是流体、弹性还是塑性等，而是基于更深层次力学理论构架上，即基于“连续介质力学”理论构架。连续介质力学*基本的假设即为宏观“连续介质”假设，即认为物质在所占有的空间内可以近似认为是连续无空隙的“质点”的组合，而忽略物质本身所具备的微观结构。需要说明的是，假设中“质点”与介质的原子或分子是完全不同的，它是人为定义的“微团”；从字面上就可以看出，“微团”就是指“微”的“团”，即“微小”的“集合”，其定义不仅涉及空间尺度上的假设，还涉及时间尺度上的假设。在空间尺度上：所谓“微”，是指它在宏观上“足够小”，远小于所研究的任何材料包括复合材料*小材料成分颗粒，小到在“连续介质”研究对象中“不可再分”，从而可以将其所包含介质的平均物理量看成均匀不变，即认为其内部介质具有完全相同的物理量，从而可以将其近似地视为几何上的一个“点”；所谓“团”，是指它在微观上“足够大”，远大于介质原子或分子运动的尺度，其包含极大数量的原子或分子，使得原子和分子尺度无规律运动在该尺度下进行统计平均后能够得到稳定且确定的量，且能够保证材料在该尺度上可视为稳定连续的。在时间尺度上：所谓“微”，是指它“足够小”，小到其所对包含原子或分子运动即进行平均统计对应的宏观时间相对于所研究的问题时间特征而言可以忽略不计，以至于可以认为将其视为一个“瞬间”的行为；所谓“团”，是指它“足够大”，大到在这段时间内原子或分子的运动进行了非常多次，以至于在此期间对其进行统计平均能够给出稳定且确定的量。我们一般称这些“微团”为“质点”，其所具有的宏观物理量应满足所应该遵循的物理定律。 　　1.1.1连续介质的Lagrange构形与Euler构形 　　容易知道，任何物体在任一特定时刻所占的空间区域是确定的，即全部质点在此空间区域内的位置与排列形式是确定的，此时物体结构中质点空间组形称为物体在此时刻的构形。构形分为初始构形（或称参考构形）和瞬时构形两种：前者是指在初始时刻时物体的构形，通常是指未变形的物体的构形；后者是指在任意时刻物体对应的构形。连续介质力学主要目的在于建立各种物质的力学模型和把各种物质的本构关系用数学形式确定下来，并在给定的初始条件和边界条件下求出问题的解答，因此，构形及其坐标的数学描述是其核心基础之一。 　　1.Lagrange坐标系 　　理论上讲，如果我们能够确定物体中每个质点的物理量及其演化特征，我们就能够给出问题的确定解，这是解决问题的*简单典型的思路。如同，国家为了方便对公民生产、生活活动进行服务和管理，此时每个“公民”就是国家这个“物体”的“质点”，掌握每个公民“质点”的“物理量”即生产生活等信息及其随时间推移而变化的信息，就能够“表征”这个整体“国家”的发展动态，容易知道，此时首要任务就是找出一个能够唯一确定每个公民“质点”的方法或标准，这就相当于物体构形中质点的确定*先需要确定一个坐标系，基于这个“坐标系”就可以给每个公民“质点”一个“坐标”即身份证号；然而，由于每个“公民”在不同时间其对应活动地点可能不同，例如，小学期间在湖北、大学期间可能在安徽，这种“坐标系”的选取必须排除时间和空间两个因素中的一个因素干扰，我们的身份证号的确定正是排除时间这一因素的影响，取每个公民“质点”出生时间对应的地点即初始构形中的“坐标”来唯一确定公民“质点”；每个公民在社会活动中这个“坐标”是终身不变的，国家也可以通过这个坐标对应的信息来确定该公民的社会生活情况。这种解决问题的方法简单地讲，就是：初始构形为参考，在空间上确定物体中每个质点的坐标，且在问题分析过程中，该质点的坐标始终保持不变，我们通过追踪该质点物理量的演变来分析与解决问题；这种坐标称为Lagrange坐标（常简称为L氏坐标），对应的坐标系称为Lagrange坐标系。由于这种坐标自确定之后贯穿整个问题的分析过程一直与物体质点“绑”在一起，所以也通常称为物质坐标。 　　为了与后面的Euler坐标区分，Lagrange坐标以大写的X、F和Z表示，通常简称为L氏坐标或物质坐标，在此说明，后面同。以一维条件下的力学问题为例，在Lagrange坐标系中，介质中任意质点任意时刻对应的物理量0均可以写为 　　（1-1） 　　由式（1.1）和Lagrange坐标系的内涵可知，由于对于初始构形中任意特定质点而言，其在Lagrange坐标系中任意时刻坐标X保持不变，此时在研究介质中各质点物理量随时间变化而演化问题时，相当于我们跟随着介质中确定的质点来观察物体的运动，研究给定质点上各物理量随时间的变化；这种方法称为介质运动规律的Lagrange描述（简称L氏描述）或物质描述。同理，在Lagrange坐标系中研究介质物理量小随时间的变化率，也相当于我们跟随介质中确定的质点来感受其物理量随时间的变化率，此种导数称为物理量的随体导数（或物质导数）。 　　此时，质点物理量随时间的变化率，即物理量多对时间的随体导数为 　　式中，下标t和X分别表示固定时间t和固定质点L氏坐标X时的对应量。事实上，在微积分求导的链式法则中也蕴含这种意义，只是为了更容易理解，这里特意在此强调，下同。 　　容易知道，在Lagrange坐标系中，质点的坐标并不随时间变化而变化，因此，式（1.2） 　　1.1连续介质运动的守恒条件 　　右端**项恒为零，式（1.2）即简化为 　　（1.3） 　　也就是说，在Lagrange坐标系中或L氏描述下，任意物理量随体导数皆等于其对时间t的偏导数。 　　如果取令物理量为质点对应在任意t时刻对应的瞬时空间位置z时，则可以得到 　　（1.4） 　　即可以给出质点X的速度v与加速度a。 　　2.Euler坐标系 　　利用Lagrange构架来描述物理问题思路简单，由于L氏坐标与时间并不耦合，因此在推导过程中形式较简单。然而，在材料运动或变形过程中，其初始构形中的质点随着时间的推移其空间位置可能出现变化，而其L氏坐标保持不变，这势必导致Lagrange坐标系随着时间的变化而变化，大多数情况下其坐标系为曲线坐标系，对于大变形如流体运动问题而言，其计算极为复杂。例如，当研究我国近5年内人口流动情况时，利用“L氏思想”就是追踪每个人在近5年的轨迹，从而通过建模给出人口流动情况与规律；容易知道，这种任务只能由国家统筹并设立专业团队进行统计与分析，任务量极其庞大，而且很难准确地完成任务。如果换一个思路：每个省市县甚至乡镇村定期统计其居住人口，再将不同时期全国人口分别放在整个国家这个“场”层次进行分析，较容易给出较准确人口流动规律，并能够较准确地给出其流动趋势图。又如，对全国各城市进行天气预报，需要掌握各地的气象变化，此时，无论从硬件条件还是软件条件上，我们不可能对每个气象云进行追踪；当前*准确可行的方法就是在各地布置监测站，实时监测各区域的气象图，再利用大型计算中心将所有数据进行统计并分析其气象“场”及其演化趋势，从而进行天气预测。这两个问题中目标质点流动性皆很大，且各质点随着时间的变化其空间变化趋势紊乱，在Lagrange坐标系中对问题进行描述和计算极为困难，因此，此时，我们可以“锁定”空间，利用“场”论相关方法，对问题进行描述与分析；这种“固定”空间以瞬时构形为对象的坐标系称为Euler坐标系；对应的坐标称为Euler坐标（简称为E氏坐标）或空间坐标。 　　在固定空间点上观察介质的运动，研究给定空间点上不同时刻t到达该空间坐标x的不同质点上各物理量随时间的变化，而把物理量视为E氏坐标x和时间t的函数： 　　（1-5） 　　这种方法称为Euler描述（简称E氏描述）或空间描述。为了与Lagrange坐标区分，Euler坐标以小写的a；、y和z表示。 　　同样，在一维问题中，同一个质点的E氏坐标一直在变化，即对于特定的质点而言，其E氏坐标也是时间的函数； 　　（1.6） 　　换个角度看，容易知道，对于相同E氏坐标而言，不同时刻对应的介质质点是不一定相同的。此时质点对应物理量的随体导数即为 　　（1.7） 　　特殊情况下，对于均匀场即任意特定时刻介质构形中不同空间位置对应的 　　（1.8） 　　对于大多数不均匀场而言，由于 　　（1.9） 　　（1-10） 　　即在E氏坐标系中，质点物理量f的随体导数通常并不等于其对时间的偏导数。容易知道，式（1.10）中右端物理量/对时间t偏导数的物理意义是特定E氏坐标质点的物理量/随时间t的变化率，而在E氏描述中特定E氏坐标处的质点在不同时刻不一定相同或通常是在变化的，因此，在不同时刻物理量/对应的质点也是变化的。