广义相对论讲义

目录
前言
第1章　引言　1
1.1　牛顿万有引力定律及其存在的问题　1　
1.2　狭义相对论回顾　8　
1.2.1　狭义相对论的基本原理与洛伦兹不变性　8　
1.2.2　相对论性的质点动力学　13　
1.2.3　（真空中的）电动力学　16　
1.2.4　流体力学　20　
1.2.5　狭义相对论存在的问题　24　
1.3　等效原理　25　
1.3.1　惯性质量与引力质量　25　
1.3.2　厄特沃什实验　27　
1.3.3　等效原理的表述　30　
1.4　广义相对性原理与广义协变性原理　32　
附录1.A　闵可夫斯基时空　34　
附录1.B　运动质量与静止质量的关系　35　
附录1.C　质点运动的轨迹一定是类时曲线　42　
附录1.D　希腊字母表　44　
习题　45　
第2章　微分几何基础与张量分析　47　
2.0　（2维）非欧几何　47　
2.1　微分流形和张量场　49　
2.1.1　微分流形　49　
2.1.2　流形上的张量场　51　
2.1.3　张量场的运算　52　
2.2　时空和张量密度　55　
2.2.1　时空与度规　55
2.2.2　张量密度　58　
2.3　协变导数和联络　61　
2.3.1　协变导数与联络的引入　61　
2.3.2　张量的坐标无关表示　68　
2.3.3　梯度、旋度和散度　72　
2.4　曲线、切矢与切空间　78　
2.4.1　曲线　78　
2.4.2　切矢　80　
2.4.3　切空间　82　
2.5　张量场沿曲线的平行移动　83　
2.6　沿曲线的协变微分　87　
2.7　测地线　88　
2.7.1　测地线的定义　88　
2.7.2　测地线的性质　91　
2.7.3　测地线的长度　92　
2.7.4　极值曲线　94　
2.7.5　计算克氏符的简便方法　96　
2.8　黎曼曲率张量　97　
2.8.1　黎曼曲率张量的定义　97　
2.8.2　挠率和曲率的几何意义　100　
2.8.3　曲率张量和挠率张量的性质　104　
2.8.4　爱因斯坦张量、比安基恒等式及曲率张量的分解　108　
2.9　测地线偏离方程　111　
2.10　外微分与联络1形式　112　
2.10.1　微分形式与外积　112　
2.10.2　外微分　115　
2.10.3　联络1形式　116　
2.10.4　用标架计算无挠联络系数和曲率张量　119　
2.11　微分同胚与李导数　123　
2.11.1　微分同胚　123　
2.11.2　李导数　125　
2.12　超曲面　128
2.13　基灵矢量场和时空对称性　130　
2.13.1　基灵矢量场　130　
2.13.2　关于时空对称性的两个重要定理　135　
2.14　黎曼时空中的积分　139　
附录2.A　短程线与长时线　142　
附录2.B　挠率不为零时的比安基恒等式　146　
附录2.C　法曲率、平均曲率、高斯曲率与黎曼曲率　148　
附录2.D　第2章复习　149　
附录2.E　不同符号约定及其关系152　
习题　153　
第3章　引力场方程及广义相对论的实验检验　157　
3.1　弯曲时空中的物理量157　
3.1.1　质点动力学　157　
3.1.2　（真空中的）电动力学　160　
3.1.3　相对论理想流体力学　161　
3.2　广义相对论中的基本测量　162　
3.3　引力场方程的建立　167　
3.3.1　引力场方程　167　
3.3.2　对爱因斯坦引力场方程的讨论　171　
3.4　静态球对称解　174　
3.4.1　对称性分析　174　
3.4.2　史瓦西解　176　
3.4.3　对史瓦西解的说明　179　
3.5　伯克霍夫定理　181　
3.6　引力红移　185　
3.6.1　引力红移的理论　185　
3.6.2　实验检验　188　
3.6.3　讨论　189　
3.7　真空球对称引力场中的轨道运动　190　
3.7.1　牛顿力学中测试粒子的运动　190　
3.7.2　广义相对论中测试粒子的拉氏量　190　
3.7.3　广义相对论球对称引力场中测试粒子的运动　192
3.7.4　史瓦西时空中运动方程解的定性分析　194　
3.8　水星近日点的进动　196　
3.8.1　牛顿力学中水星的运动　196　
3.8.2　狭义相对论的修正　198　
3.8.3　广义相对论的修正　199　
3.8.4　引力变形导致的修正*　201　
3.8.5　讨论　204　
3.9　光线偏折与引力透镜204　
3.9.1　牛顿力学中光线的轨迹　204　
3.9.2　广义相对论中的光线偏折　207　
3.9.3　观测结果　209　
3.9.4　引力透镜　211　
3.10　雷达回波延迟　213　
3.10.1　广义相对论的结果　214　
3.10.2　弱等效原理的结果*　216　
3.11　真空球对称引力场中的轨道运动（II）——圆轨道和瞄准参数　217　
3.11.1　圆轨道　217　
3.11.2　*小瞄准参数（碰撞参数）220　
3.11.3　稳定圆轨道　221　
3.11.4　束缚圆轨道　222　
3.12　后牛顿近似和轨道陀螺进动　222　
3.12.1　后牛顿近似*　222　
3.12.2　Lense-Thirring近似解　230　
3.12.3　轨道陀螺进动*　231　
附录3.A　外尔坐标下史瓦西解的几何对称性　239　
附录3.B　3L-4项和e2修正项的影响　241　
附录3.C　球坐标系下轨道陀螺进动的再分析　244　
附录3.D　进动频率对一圈的平均（（3.12.96）式的证明）252　
习题　257　
第4章　引力波与引力辐射　258　
4.1　线性引力场方程　258　
4.2　线性平面引力波解　262
4.2.1　闵氏时空真空中平面电磁波　262　
4.2.2　真空中平面引力波　265　
4.3　引力辐射（含脉冲双星的引力辐射）271　
4.3.1　引力四极矩张量与引力辐射　271　
4.3.2　引力辐射能流　274　
4.3.3　两类特殊系统引力辐射强度的计算　278　
4.4　引力波探测　285　
4.4.1　引力波对物质的作用　286　
4.4.2　引力波探测方法　288　
4.4.3　观测结果　292　
附录4.A　用广义相对论分析月球的潮汐力　295　
习题　296　
第5章　星体内部结构与引力坍缩　297　
5.1　星体内部结构——牛顿力学的处理　297　
5.2　星体内部结构——广义相对论的处理　299　
5.2.1　广义相对论中星体结构平衡方程与史瓦西内解　299　
5.2.2　星体内的核子数　304　
5.2.3　星体的内能　305　
5.2.4　星体的稳定性　308　
5.3　均匀密度星　309　
5.3.1　牛顿引力中的均匀密度星　309　
5.3.2　广义相对论中的均匀密度星　310　
5.3.3　广义相对论中的均匀密度星的弱场近似　312　
5.3.4　广义相对论中的均匀密度星的特性　313　
5.4　多层球　313　
5.4.1　物态方程　314　
5.4.2　平衡星体的解　315　
5.4.3　多层球的内能　318　
5.4.4　多层球的稳定性　320　
5.5　白矮星　323　
5.5.1　电子简并压　323　
5.5.2　白矮星的物态方程　326
5.5.3　白矮星的质量与半径　327　
5.5.4　白矮星的广义相对论修正　331　
5.6　中子星　332　
5.6.1　中子简并压与物态方程　332　
5.6.2　非相对论极限与极端相对论极限下的中子星　334　
5.6.3　中子星的质量上下限　338　
5.6.4　中子星的广义相对论修正　341　
5.6.5　中子星的观测　342　
5.7　共动坐标系　343　
5.8　引力坍缩　345　
5.8.1　均匀密度坍缩球内解　345　
5.8.2　与史瓦西外解衔接　348　
5.8.3　坍缩星体表面发出光信号的到达时间　353　
5.8.4　红移　354　
习题　357　
第6章　黑洞物理　359　
6.1　黑洞的基本概念　359　
6.1.1　历史上的黑洞　359　
6.1.2　史瓦西解中的奇异性　360　
6.1.3　史瓦西解的特征曲面　365　
6.2　史瓦西时空的*大解析延拓　368　
6.2.1　Kruskal度规　368　
6.2.2　Kruskal流形　369　
6.2.3　t，r为常数的超曲面与时间反演　372　
6.2.4　同维嵌入子流形与延拓　373　
6.3　彭罗斯图　375　
6.3.1　闵可夫斯基时空的彭罗斯图　375　
6.3.2　史瓦西时空的彭罗斯图　377　
6.3.3　球对称坍缩星体形成的黑洞及其彭罗斯图　383　
6.4　更多的球对称黑洞解384　
6.4.1　Schwarzschild-（anti-）de Sitter黑洞　384　
6.4.2　Reissner-Nordstr.m黑洞　388
6.5　Kerr-Newman黑洞　392　
6.5.1　Kerr-Newman度规　392　
6.5.2　无限红移面、视界、奇异性与能层　394　
6.5.3　Kerr时空中的测地线和彭罗斯图 402　
6.6　有关黑洞的几个定理与描写黑洞的参量　414　
6.7　黑洞的能量提取过程　423　
6.8　黑洞热力学　426　
6.9　黑洞存在的观测证据　431　
6.9.1　黑洞形成的机制　431　
6.9.2　黑洞认证的主要方法　434　
附录6.A　圆轨道运动粒子单位质量的能量与角动量　438　
附录6.B　质点运动的*小稳定圆轨道　441　
习题　442　
第7章　宇宙学初步　444　
7.1　宇宙学原理与FLRW度规　444　
7.1.1　宇宙的静动之争　444　
7.1.2　宇宙学原理　444　
7.1.3　FLRW度规　445　
7.1.4　宇宙学红移　446　
7.1.5　从FLRW度规看Hubble定律　448　
7.2　均匀各向同性宇宙模型　449　
7.2.1　宇宙演化的完备方程组　449　
7.2.2　大爆炸宇宙模型　451　
7.3　宇宙的暴涨　461　
7.3.1　大爆炸宇宙模型存在的问题　461　
7.3.2　暴涨阶段　465　
习题　469　
第8章　广义相对论的发展　470　
8.1　Einstein-Hilbert作用量与*小作用量原理　470　
8.1.1　物质场的*小作用量原理　471　
8.1.2　引力场