矩阵之美(基础篇)

第1章矩阵与线性变换 线性变换普遍存在于自然界中。无论热的传导、光的传播，还是力的作用、人的感知，从宏观的天体运动到微观的粒子世界，都包含着大量的线性变换过程。一定程度而言，矩阵的引入正是为了描述线性变换这一基本的物理过程。 1.1自然界中的线性变换 自然界中存在着大量的线性变换物理过程，比如图1.1中绿色图形到蓝色图形之间的转换即为一常见的线性变换。在此变换中，绿色图形上的4个点A，B，C，D变换为蓝色图形上4个点A′，B′，C′，D′，其他点也一一对应。此变换可以用自然语言表述为：水平方向扩大两倍、垂直方向缩小为原来的二分之一的挤压变换。为了更加精确、定量地描述线性变换，我们需要引入坐标系或者基的概念。 当给上述图形赋予一个坐标系之后，图形上的每个点就都有了坐标的概念。如图1.2，当我们选择Oxy直角坐标系时，A，B，C，D的坐标分别为(2，2)，(.2，2)，(.2，.2)，(2，.2)，A′，B′，C′，D′的坐标分别为(4，1)，(.4，1)，(.4，.1)，(4，.1)。容易验证，在该直角坐标系下，上述挤压变换的表达式为T(x，y)=(2x，0.5y)，对应的变换矩阵为 除了上述挤压变换，自然界中还存在着多种线性变换，下面给出一些常见的线性变换的例子以及相应的矩阵表达。 例1.1缩放变换 缩放变换为线性变换，表达式为T(x，y)=(kx，ky)。该线性变换将平面上的点(x，y)缩放为(kx，ky)。其对应的矩阵为缩放矩阵，即 当k=0.5时，该变换将平面上的绿色图形缩小为蓝色图形(如图1.3)。 例1.2反射变换 反射变换为线性变换，平面上关于y轴的反射变换表达式为T(x，y)=(.x，y)。该变换将平面上的点(x，y)相对于y轴镜面反射为(.x，y)。 其对应的矩阵为反射矩阵，即 在该变换作用下，平面上的绿色图形镜面反射为蓝色图形(如图1.4)。 例1.3旋转变换 旋转变换为线性变换，平面上的旋转变换表达式为 T(x，y)=(cos(θ)x.sin(θ)y，sin(θ)x+cos(θ)y) 该线性变换将平面上与点(x，y)对应的向量逆时针旋转θ角，其对应的矩阵为旋转矩阵，可以表示为 当θ=45.时，在该变换作用下，平面上的绿色图形旋转为蓝色图形(如图1.5)。 例1.4剪切变换 剪切变换为线性变换，平面上的水平剪切变换表达式为T(x，y)=(x+ky，y)。该线性变换将平面上的点(x，y)变为(x+ky，y)，其中k为剪切度。其对应的矩阵为剪切矩阵，可以表示为 当k=1.25时，在该变换作用下，平面上的绿色图形被水平剪切变换为蓝色图形(如图1.6)。 例1.5挤压变换 挤压变换为线性变换，平面上的挤压变换表达式为T(x，y)=(k1x，k2y)。其中图1.1的例子就是一种特定的(k1=2，k2=0.5)挤压变换。另外，缩放变换也可以看作挤压变换的特殊情形。 例1.6投影变换 投影变换为线性变换，平面上沿着垂直方向往水平方向投影的变换表达式为T(x，y)=(x，0)。该线性变换将平面上的点(x，y)沿垂直方向投影为(x，0)。其对应的矩阵为投影矩阵，即 在该变换作用下，平面上的绿色图形都被投影到水平蓝色线段(如图1.7)。 例1.7置换变换 置换变换为线性变换，如T(x1，x2，x3，x4)=(x3，x2，x1，x4)。该变换将4维空间的点(x1，x2，x3，x4)中**和第三个元素置换变为(x3，x2，x1，x4)。其对应的矩阵为置换矩阵，可以表示为 由于维数较高，将不再图示本变换的效果。置换矩阵有三个特殊形式：交换矩阵、互换矩阵和移位矩阵。下面给出移位变换和移位矩阵的例子。 例1.8移位变换 移位变换为线性变换，如T(x1，x2，x3，x4)=(x2，x3，x4，x1)，该线性变换将4维空间的点(x1，x2，x3，x4)移位变换为(x2，x3，x4，x1)。其对应的矩阵为移位矩阵(也叫循环移位矩阵)，可以表示为