曲线与曲面的工程微分几何学

目录 前言 第1章 预备知识 1 1.1 基本概念 1 1.2 矢量的代数运算 3 1.2.1 矢量加减法 3 1.2.2 矢量的数乘 3 1.2.3 矢量的点积 3 1.2.4 矢量的矢积 4 1.2.5 矢量的混合积 6 1.2.6 二重矢积与Lagrange恒等式 7 1.3 矢量函数及其微积分 12 1.3.1 矢量函数的概念 12 1.3.2 矢量函数的极限与连续 12 1.3.3 矢量函数的导矢量函数及其方向 13 1.3.4 矢量函数的Taylor公式 17 1.3.5 矢量函数的积分 19 1.4 几种具有特殊性质的矢量函数 21 1.4.1 具有固定长度的矢量函数 21 1.4.2 具有固定方向的矢量函数 21 1.4.3 位于某一平面内的矢量函数 22 1.5 坐标变换 24 1.5.1 坐标变换与微分几何的联系及物理背景 24 1.5.2 有公共原点的坐标系间的旋转变换 25 1.5.3 旋转-平移复合变换 28 1.5.4 以坐标变换为背景的矢量点积和矢积运算 30 1.6 圆矢量函数与球矢量函数 33 1.6.1 圆矢量函数与球矢量函数的定义 33 1.6.2 圆矢量函数与球矢量函数的运算规则 35 1.6.3 运算举例 35 参考文献 36 第2章 空间曲线 37 2.1 正则参数曲线 37 2.2 曲线的弧长 41 2.3 曲线的基本矢、基本三棱形及曲线与平面的切触 46 2.4 空间曲线的曲率与挠率 53 2.5 空间曲线的Frenet-Serret公式及其运动学意义 58 2.5.1 一条引理及有关几何解释 58 2.5.2 Frenet-Serret公式的推导 61 2.5.3 Frenet-Serret公式的运动学意义 62 2.5.4 利用Frenet-Serret公式研究空间曲线 65 2.6 曲线在一点邻域内的形状与曲线的切触 72 2.6.1 空间曲线的近似曲线 72 2.6.2 曲线与曲线的切触 78 2.7 空间曲线论基本定理 81 参考文献 90 第3章 平面曲线 91 3.1 平面曲线的Frenet-Serret公式 91 3.2 平面曲线相对曲率的计算公式 94 3.3 曲率圆和曲率半径 98 3.4 平面曲线的自然方程 100 3.5 曲线的渐伸线与渐缩线 105 3.5.1 渐伸线的求法 106 3.5.2 渐缩线的求法 111 参考文献 119 第4章 曲面的概念、**基本形式及相关性质 120 4.1 曲面的概念 120 4.2 曲面的切平面与法线 124 4.3 几种常见的简单曲面 127 4.3.1 旋转面（回转面） 127 4.3.2 螺旋面 130 4.3.3 直纹面 132 4.4 可展曲面及其分类 136 4.4.1 可展曲面的定义 136 4.4.2 可展曲面的分类 138 4.5 **基本形式与**类基本量 141 4.6 曲面的度量性质 145 4.6.1 曲面上曲线段的长度 145 4.6.2 曲面两切矢的夹角 147 4.6.3 曲面面积 150 4.7 曲面的等距变换、等角变换和等面变换与曲面的内蕴性质 154 4.7.1 曲面的等距变换与曲面的内蕴性质 154 4.7.2 曲面的等角变换 160 4.7.3 曲面的等面变换 164 参考文献 166 第5章 曲面的第二基本形式与法曲率 168 5.1 第二基本形式与第二类基本量 168 5.2 法曲率 176 5.3 渐近方向、渐近曲线与渐近网 182 5.4 主曲率与主方向 187 5.5 曲率线及其几何特征 194 5.6 Euler公式 204 参考文献 230 第6章 曲面论的张量方法与标架微分方法 232 6.1 曲面上自然标架的运动公式 232 6.2 曲面理论的基本方程 244 6.2.1 Gauss方程和Codazzi-Mainardi方程的建立 245 6.2.2 Gauss方程的独立性与Riemann曲率张量 247 6.2.3 Codazzi-Mainardi方程的独立性及其采用Gauss曲面论符号的表达法 254 6.2.4 方程总结 255 6.3 Gauss曲率的内蕴表示及其几何意义 259 6.4 曲面论的基本定理 270 6.5 曲面理论中的标架微分方法 277 参考文献 288 第7章 基于曲率的曲面研究 289 7.1 正则曲面的Dupin指标线 289 7.2 共轭方向和共轭曲线网 296 7.3 法曲率对弧长的导数 304 7.4 曲面在一点近旁几何形状研究 309 7.4.1 曲面方程的三阶展式 310 7.4.2 替代曲面在单位正交标架中的方程及其渐近性质 312 7.4.3 替代曲面在主标架中的方程及其主曲率和主方向 314 7.4.4 替代曲面与原曲面在公切点邻域中的法向距离 316 7.4.5 曲面在一点邻域内的近似形状 319 7.5 直纹面和可展面的曲率特征 322 7.6 常Gauss曲率曲面 328 7.6.1 常Gauss曲率的回转面 328 7.6.2 常Gauss曲率的螺旋面 335 7.6.3 零Gauss曲率的螺旋面 341 7.7 平均曲率为0的曲面 348 7.7.1 “极小曲面”称谓的由来 348 7.7.2 极小曲面微分方程及其初等解 350 7.7.3 按曲面的类别寻求极小曲面 356 7.8 平均曲率为非0常数的旋转面和螺旋面 366 7.8.1 平均曲率为非0常数的旋转面 366 7.8.2 平均曲率为非0常数的螺旋面 371 参考文献 382 第8章 测地曲率和测地挠率及其应用 384 8.1 测地曲率 384 8.2 测地线 394 8.2.1 测地线的定义与一般性质 394 8.2.2 测地线微分方程及其不同形式 394 8.2.3 测地线的短程性 398 8.2.4 具体曲面上的测地线 400 8.3 测地挠率 408 8.3.1 测地挠率的定义与基本计算公式 408 8.3.2 Bertrand公式及与之相关的测地挠率性质 410 8.3.3 测地挠率和测地曲率在寻求曲面近似方程中的应用 415 8.4 曲面曲线标架运动公式 424 8.4.1 曲面曲线标架运动公式的建立 424 8.4.2 曲面曲线标架运动公式的运动学意义 426 8.4.3 推广的Rodrigues方程 430 8.5 推广的Euler公式和Bertrand公式 454 8.5.1 曲挠圆 454 8.5.2 基于法曲率和测地挠率的平均曲率与Gauss曲率计算式 455 8.5.3 推广的Euler公式和Bertrand公式 456 8.6 曲面曲率分析综合举例 462 8.6.1 法向圆弧螺旋面方程的建立 462 8.6.2 法向圆弧螺旋面的单位法矢量和两类基本量 463 8.6.3 法向圆弧螺旋面上的活动标架和它的曲率参数 465 8.6.4 法向圆弧螺旋面测地曲率的计算 467 参考文献 471 第9章 包络理论 472 9.1 单参数曲面族的包络面、接触方程与特征线 472 9.2 单参数曲面族包络面的奇点条件 478 9.3 单参数平面族的包络面 487 9.4 单参数平面曲线族的包络线 498 9.5 双参数曲面族的包络面及接触方程 503 9.6 双参数曲面族的两类界线 512 9.6.1 接触界线 512 9.6.2 曲率干涉界线 517 9.6.3 矢量Nj（j=1，2）的特性 521 9.6.4 偏曲率干涉界线函数*1t2和*2t1的关系式 524 9.7 双参数曲面族的包络面及两类界线计算举例 526 9.7.1 双参数渐开螺旋面族 526 9.7.2 接触方程及其解 526 9.7.3 接触界线 532 9.7.4 包络面方程 533 9.7.5 曲率干涉界线 537 附录 双参数渐开螺旋面族方程（9.7.1）的推导 539 参考文献 541