系统科学进展(第3卷)

张江，北京师范大学系统科学学院教授，博士生导师。集智倶乐部创始人、集智学园创始人。主要研究方向包括复杂网络与机器学习、复杂系统分析与建模、计算社会科学。其开创的集智倶乐部是国内外知名的学术社区，致力于复杂系统、人工智能等多领域的跨学科交流与合作。目前主要的研究课题是复杂系统自动建模。个人主页。 张江 深度解读2021年诺贝尔物理学奖—平衡混沌与秩序的复杂 1.混沌与蝴蝶 2.随机中如何涌现有序 3.复杂：介于混纯与秩序的边缘 4.21世纪是复杂性的世纪 深度解读2021年诺贝尔物理学奖——平衡混沌与秩序的复杂 张江 北京时间10月5日，2021年诺贝尔物理学奖发布，终于垂青复杂系统研究领域，奖项授予了三位物理学家以表彰他们“对我们理解复杂物理系统所做出的开创性贡献”（for groundbreaking contributions to our understanding of complex physical systems)。“ComplexSystems”几个大字赫然出现在诺贝尔物理学奖官方网站中。 这是复杂系统领域的大事。本届诺贝尔物理学奖是复杂科学研究第二次获得诺贝尔奖青睐，**次是在44年前，著名的复杂科学大师普利高津因他在“非平衡热力学，特别是他的耗散结构理论方面的工作”而获得1977年的诺贝尔化学奖。 本文主要从概念的历史纵深的角度来解读这一届的诺贝尔物理学奖。 首先，诺贝尔物理学奖为何突然青睐复杂系统研究？这主要应归功于两点：①复杂系统研究实在是牵扯到从生命到宇宙再到人类社会等一系列意义重大的问题。气候变化是牵扯到人类未来生死存亡的重大问题，今年（2021年）诺贝尔物理学奖的一半即授予了关于全球气候的研究。②复杂系统无愧于“复杂”二字，它的研究实在是过于艰深。例如，针对自然界中的秩序现象，科学家已经开发出欧氏几何、群论等数学、物理工具；针对无序现象，我们有概率、统计等理论工具。然而，复杂系统，恰恰介于混沌与秩序之间，传统的分析工具刚好难以发挥作用。所以，这方面一小点的进展都是不得了的。 下面，我们沿着混沌-秩序-混沌边缘的顺序详细拆解。 1.混沌与蝴蝶 今年的诺贝尔物理学奖颁奖词中，有两个关键词，一个是“气候”(climate)，-个是“无序”(disorder)，而复杂系统中的无序有相当一部分来源于“混沌”(chaos)，所以我们从“气候”和“混沌”这两个概念说起。 气候与混沌两个词在一起，自然会联想到蝴蝶效应。蝴蝶效应的一个通俗版本是“亚马孙雨林中的蝴蝶扇动了一下翅膀，北京上空就下起了一场暴雨”。但它在科学上的真正含义却往往被忽视。 早在1963年，气象学家爱德华 洛伦茨（Edward Lorenz)为了模拟天气系统中的对流运动，写下了一个简化版的方程： 通过这个方程，我们可以理解混沌现象。 (1)方程是完全确定性的。 这意味着，这个模拟的天气系统完全就像一个精密的钟表。我们设置好时针、分针、秒针的初始位置，它就可以精确地走时，没有任何随机、不确定性因素的干扰。 (2)方程是高度非线性的。 这意味着，我们不能通过简单的数学计算，就准确地预测出这个系统的行为。我们只能求助计算机通过暴力地计算，从而对它近似求解。 然而，当我们将方程输入计算机后，会看到这样的画面，如图1所示。 首先，我们会看到，这个动点经过长期运动所形成的轨迹就像一只张开翅膀的蝴蝶。这才是当时洛伦茨把混沌现象叫作蝴蝶效应的真正原因。 其次，我们会看到，代表方程解的动点会在两扇翅膀之间晃来晃去，飘忽不定。其运动表现得似乎毫无规律。 但其实，觉得这个方程奇怪的人不只是我们。连洛伦茨**次看到时也大吃一惊。 然而，洛伦茨在后续工作中发现了更有趣的现象。当他从稍微不同的初始状态迭代方程时会得到完全不同的轨迹。就好像程序出了差错，初始条件相差万分之一，后续的结果却有巨大误差。经过反复验证，洛伦茨了解到方程并没有出错，而是蕴含了一个数学世界的秘密：这个简单的非线性方程对初始条件的误差非常敏感。 举个例子。想象一下去靶场打靶的情景，当子弹从枪筒射出时，如果出现一个非常小角度的偏差，完全可能让子弹脱IE。即子弹飞行的轨迹及其弹着点是对子弹出射的小角度非常敏感的。 但对于洛伦茨方程这样的混沌非线性系统来说，它对初始条件的误差敏感度，要远比子弹这样的线性系统高得多。因为子弹误差是随子弹飞行时间线性放大的;而洛伦茨天气系统的误差是随时间指数放大的。这意味着，开始时预测的天气系统仅仅有万分之一的误差，但经过两天后，模型就和真实天气系统产生了天壤之别，甚至可以说毫无关系。所以才说，亚马孙雨林的蝴蝶，小小地扇动了一下翅膀，有可能造成遥远地方的一场巨大暴风雨。这种对初始误差的敏感性后来就被称为蝴蝶效应。 洛伦茨简化的天气模型竟然引发了一场席卷全球的混沌风暴。在此之前，人们以为不确定性仅仅与量子世界有关，但混沌现象的发现却揭示了：即使像一个遵循牛顿力学的钟表一样的确定系统，也有可能因为非线性而产生完全随机的表现。同时，初始条件不完美地测量或设定，使得我们根本无法对系统进行准确模拟与预测。牛顿、拉普拉斯曾设想的完美钟表世界在现实中根本不存在。 2.随机中如何涌现有序 既然如此，简化的天气系统都是混沌无序的，那能否认为真实的天气或者更大尺度的气候特征就更加无序和不可预测呢？ 2021年，诺贝尔物理学奖的两位得主真锅淑郎与克劳斯 哈塞尔曼的工作否定了这个结论。他们发现，当我们从更大尺度去考虑天气甚至全球气候这样更大的系统时，我们不仅能够预测全球大尺度气候系统的宏观行为，甚至还可以评估人类的碳排放如何对全球气候造成影响。虽然混沌效应在微观尺度上的确存在，但当我们考虑全球气候变暖这样的大尺度问题时，混沌效应所产生的混乱、不确定性就可以被视为噪声涨落而忽略掉，从而得到确定性的结论。 这种将无序作为噪声处理的做法，其实统计学中早已有之。比如，我们之所以要对一个事物进行多次测量而取平均值，就是因为每次测量可能存在误差，而把多次测量的结果加起来，就有可能让这些误差相互抵消掉，从而得到更稳定、靠谱的结果。 除均值以外，物理学家更喜欢用“涨落”来描述像极端天气或股票涨跌这样随机系统的物理量，它描述了这些随机量偏离系统均值的程度。 例如经典的醉汉随机游走问题：假设一个醉汉在一条街道上随机游走，他可能以1/2的概率向前走一步，也有可能以1/2的概率向后走一步。那么，经过100步以后，我们能估计出醉汉离起点有多远吗？在1905年的时候，爱因斯坦给出了这类随机游走问题的一套精辟解法。 为什么对于完全随机运动的醉汉，我们能够写下精确的数学方程并求解呢？关键在于大数和概率。如果考虑单个醉汉在每一步的行为，我们很难得出准确的预测一事实上根本无法预测，因为它是纯随机的。 但是，当我们让足够多的醉汉，比如1000个，同时从起点出发，进行随机游走时，我们就能看到一群醉汉仿佛乌云般从原点扩散开来。乌云每个点的颜色深度就对应了该点醉汉的数量一这可以用一个精确的数学方程刻画（这里暂且称之为爱因斯坦方程)： 其中乃是一个常数，是醉汉可能的位置坐标（以起点为原点)，为时间，为某地某时发现醉汉的概率，也就是乌云颜色深度。 解决该问题有两个关键点： (1)大数定律让每个醉汉的随机性相互抵消了； (2)放弃描述单个随机因素，退而尝试预测具有统计含义或宏观的变量，比如平均值、涨落、概率等。 正是这两点，可以让我们从一个不确定的系统中提取出确定性的规律出来。而且，这种从无序中涌现出有序的现象在复杂系统中几乎随处可见。 今年，诺贝尔物理学奖得主中，真锅淑郎、克劳斯 哈塞尔曼成果，正是发现了全球气候系统无序中的有序现象。哈塞尔曼等为了定量刻画温度等宏观变量，写下了类似于洛伦茨方程的动力系统方程： 这里2/表示的就是全球平均气温、海平面温度等全球大尺度气候变量。相比于洛伦茨方程，这里多出了一个随机涨落项$而这一项恰恰就包含了微观的混沌因素。也就是说，从大尺度上看，混沌所造成的随机性就变成了类似于投掷硬币一样的随机变量。