力学概要与习题解析(理科用)

第1章运动学 1.1基本内容 力学研究物体的机械运动，即物体的位置随时间的变化规律，它分为运动学 和动力学两部分. 1.1.1参考系与坐标系，时空特性、运动学量的特点 运动学是运动的几何学，是物理系统在时空中的运动的几何描述，它并不关 心产生这种运动的原因.在动力学中，会关注产生运动的原因.时空是时间-空间 的简称，空间是三维的，时间是一维的.时间通常作为参数.在矢量力学（或称为 牛顿力学）中，时间和空间是分离的，两者之间是相互独立的.空间是平直的，即 可用欧几里得几何描述.同时空间是均匀的和各向同性的，而时间是均匀的.时空 的这些特点决定了特定的动力学结果，即存在守恒律（动量守恒、角动量守恒、能 量守恒等），在“理论力学”课程中将会对此进行详细的讨论. 运动既是绝对的又是相对的.运动的相对性要求在描述物体的运动时首先需 要选取参考系，它是讨论物体运动规律的出发点.物体的运动状态是相对于选定 的参考系进行描述的.参考系可以是一个物体，也可以是一系列无相对运动的物 体系.不论是物体或者是物体系，均有大小且不能形变，即可以视为一个刚体.对 运动学问题，参考系的选取是任意的.对动力学问题，参考系的选取是有限制的， 取决于使用什么样的动力学关系，有惯性参考系和非惯性参考系之分.另外，对描 述问题的精度要求不同，同一参考系可以视为惯性的也可是非惯性的.例如，在讨 论地球上的大多数问题时，地球参考系可视为惯性参考系，但是在讨论河岸的冲 刷、贸易风等问题时，必须将地球作为非惯性参考系. 刻画物体的运动情况或者它与其他物体之间的相互作用情况等，需要一些基 本的物理量.在运动学中，基本物理量是位矢r、位移dr、速度w、加速度a、角 速度w、角加速度P等.在动力学中，基本物理量有力、动量、角动量、动能、力 矩等. 基本物理量的基本特点是：相对性、瞬时性和矢量性. （1）基本物理量都是相对于选定的参考系进行量度的.参考系的不同选择，刻 画同一物体运动情况的物理量的值、表示式等是不同的.因此，谈论物体运动的相 关物理量，必须明确所选取的参考系.而为了应用数学分析的方法进行具体的运算，还必须在参考系中建立坐标系.对于同一参考系，可以选取不同的坐标系，即 坐标系不是唯一的.坐标系的不同选取，对求解问题的方便与否有一定的影响.常 用的坐标系有：笛卡儿直角坐标系、柱坐标系、球坐标系、自然坐标系、平面极坐 标系等.在选定坐标系后，物理量（包括基本物理量）可以表示为时间和空间坐标 的函数. （2）基本物理量都是描述物体某一瞬时的运动状态的特征量 在力学中，物体 的运动状态包含两个方面，即物体的空间位置即系统的位形）以及位置的变化. 这一点实际上是由动力学规律所决定的，物体运动的动力学方程是二阶微分方程 （如牛顿第二定律，分析力学中的拉格朗日（J. L. Lagrange， 1736—1813）方程，哈 密顿（W. R. Hamilton， 1805—1865）正则方程等），该类方程的解需要两组条件才 能完全确定. （3）物理学中的矢量具有三个要素：大小、方向以及满足平行四边形法则（或 三角形法则）.平行四边形法则表明矢量的求和次序是无关紧要的，即对任意矢量 A和有A + B B + A，这也称为矢量关于加法具有交换性.更一般地，需 要通过变换性质来定义矢量，这样矢量可以进一步分为赝矢量、轴矢量等.物理量 的矢量性表明在物体的运动过程中该物理量可能既有大小的变化又有方向的变化 或二者兼而有之.不论何种情况都引起该物理量的变化. 需要注意的是，在牛顿力学中通常认为力是与参考系无关的，这不同于其他 基本物理量. 1.1.2基本物理量的定义 运动学中的基本物理量是以定义的方式给出的，运动学实际上是围绕这些定 义展开的. 1.位失 位矢确定质点在空间中的位置.r是由在 选定的参考系中某确定的点指向质点所在位置 的径矢（图1.1）.当质点运动时，r也发生变化， 即它是时间t的函数，于是它表示了质点位置随 时间变化的规律，因此r = r（t）又常称为运动方 程.质点位置在空间中描出的曲线称为轨迹（或 称轨道）. 位矢是时间t的单值连续可微实函数，位矢的起点一般不同于坐标系的原点，但 为简单起见常常取为同一点. 2.位移 位移描述质点空间位置的变化情况，它表示在某给定时间丨记为内，由质 点初始时刻⑷的位置指向终了时刻所在位置的矢量（图1.2），它是t和 At的函数， （1.1） 位移是不依赖于参考系的. 定义为一段时间内质 （1.2） 3.速度 速度描述质点位矢随时间变化的快慢.平均速度 点位矢变化（即位移）Ar与At的比值，即 平均速度的方向与位移Ar的方向相同.平均速度与时间间隔相对应，不同的 时间间隔，它的大小和方向一般均不相同. 通常所说的速度是指瞬时速度，它的定义是一个极限过程，即如果在时间 内，位矢的变化为Ar，则有 （1.3） 极限过程强调的是Af要多小就有多小.在数学上，上述定义就是位矢对时间的微 商，即 （1-4） 它是反映质点运动快慢和方向变化的物理量，也是时间t的单值连续可微实函数. 速度的方向沿着轨迹的切线方向，它的大小称为速率V，即 （1.5） 其中As是以|Ar|为弦所对应的轨迹曲线的弧长，或者说是在At时间内质点运 动的路程（图1.2）.当时，有. 4.加速度 加速度通常是指瞬时加速度，它的定义也是一个极限过程，即如果在At时间 内，瞬时速度的变化为，则有 （1.6） 在数学上，加速度即是速度对时间的微商或位矢对时间的二次微商 （1.7） 加速度描述质点运动速度变化的快慢. 位失、速度、加速度等概念是针对可以视为几何点的物体的，即在运动 学中所谈到的质点是指可以忽略其大小和形状的物体，在这里不必考虑其质 量等方面的属性.而在讨论动力学问题时，除了关注质点的运动学特征外， 还需要涉及它的质量等属性.对有限大小的物体，即使它可以视为刚体，除 了其作平动，或者对系统的质心之外，通常是无法谈及物体的位矢、速度、加 速度的，但可以有角速度、角加速度等描述物体整体运动行为的物理量. 1.1.3位矢、速度和加速度在各种坐标系下的表示式 在实际问题中，对矢量的处理需要采用特定的坐标系.坐标系是在选定参考 系的基础之上便于数学处理而在参考系中建立的.需要说明的是，参考系确定了， 物体的运动情况就完全确定了.但对不同的坐标系（同一参考系下）描述运动的物 理量的具体表示式不同，即位矢、速度、加速度等的表示形式与坐标系有关. 力学中通常采用的坐标系是正交坐标系，即各坐标轴之间是相互正交的.常 用的有下列几种坐标系，位矢的起点取在坐标系的原点. 1.直角坐标系 直角坐标系是固结于选定的参考系中的，其中0是坐标原点.在该坐 标系下，质点的位置坐标为（a：，y，z），它的位矢的分量表示式为 （1.8） 1.1基本内容 式中i、j、k分别表示沿Ore、Oy、Oz轴正方向的单位矢量，它们是不随时间变 化的，即具有性质 （L9） 根据定义，可得速度、加速度的分量表示式分别为 （1.10） （1.11） 也可以通过初始条件用a、v表示，即有 （1.12） （1.13） 特例1 对于匀加速运动，即均为常数的情况，有 （1.14） 以及 （1.15） 直线运动是一维问题，在这种情况下用正负就可以表示运动学量的方向了.如取从左向右的方向为;轴的正指向，则;表示质点位于坐标轴原点的右侧，相对原点的位移向右；而则表示质点位于原点的左侧，相 对原点的位移向左.当且知时，表示质点沿X正方向做加速运动；当但时，表示质点沿X正方向做减速运动. 设匀加速直线运动沿轴方向，则考虑到 从到，且相应有是对应时刻质点的坐标，则对上式积分 即有 通常将上式写为 其中，分别是质点在初始时刻和t时刻的速度，s是相应时间间隔中的 位移. 特例2 仅受重力场作用的物体的运动，即抛体运动，此时有 其中g是重力加速度.设，对上式积分有 （1.16） 考虑到是常矢量，且设时，，即质点位于坐标原点.由；再积分，可得 （1.17） 该式表明，质点的运动可以等效为沿％方向的匀速直线运动与初速度为零 的自由落体运动的叠加（见图1.3）.如果建立坐标系，坐标原点位于质