高等数学(第三版)

1 函数 1 1.1 集合 1 1.1.1 集合的概念 1 1.1.2 集合的运算 1 1.1.3 区间和邻域 2 习题1.1 3 1.2 函数 3 1.2.1 函数的概念 3 1.2.2 反函数 4 习题1.2 5 1.3 函数的基本性质 6 1.3.1 函数的奇偶性 6 1.3.2 函数的周期性 6 1.3.3 函数的单调性 7 1.3.4 函数的有界性 7 习题1.3 8 1.4 初等函数 8 1.4.1 基本初等函数 8 1.4.2 复合函数 12 1.4.3 初等函数 13 习题1.4 13 1.5 函数关系的建立 双曲函数 14 1.5.1 函数关系的建立 14 1.5.2 双曲函数 15 习题1.5 16 总习题一 16 2 极限与连续 18 2.1 数列的极限 18 2.1.1 数列的概念与性质 18 2.1.2 数列的极限 19 2.1.3 数列极限的性质 21 习题2.1 22 2.2 函数的极限 22 2.2.1 函数极限的定义 22 2.2.2 函数极限的性质 25 习题2.2 26 2.3 无穷小与无穷大 26 2.3.1 无穷小 26 2.3.2 无穷大 28 习题2.3 29 2.4 极限的运算法则 30 2.4.1 极限的四则运算法则 30 2.4.2 复合函数的极限运算法则 32 习题2.4 32 2.5 极限存在准则 两个重要极限 33 2.5.1 夹逼准则 33 2.5.2 重要极限lim x→0sinxx =1 34 2.5.3 单调有界准则 35 2.5.4 重要极限lim x→∞ 1 1x x=e 36 2.5.5 连续复利 38 习题2.5 38 2.6 无穷小的比较 39 习题2.6 40 2.7 函数的连续性 40 2.7.1 函数的连续性 40 2.7.2 函数的间断点 42 2.7.3 连续函数的运算与初等函数的连续性 44 习题2.7 46 高等数学(第三版) 2.8 闭区间上连续函数的性质 47 2.8.1 大值和小值定理与有界性定理 47 2.8.2 零点定理与介值定理 47 习题2.8 49 总习题二 49 3 导数与微分 52 3.1 导数的概念 52 3.1.1 两个引例 52 3.1.2 导数的定义 53 3.1.3 函数的连续性与可导性的关系 57 3.1.4 导数的几何意义 57 习题3.1 58 3.2 函数的求导法则与求导公式 59 3.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 59 3.2.2 反函数的求导法则 61 3.2.3 复合函数的求导法则 62 3.2.4 基本求导公式与导数法则 63 习题3.2 65 3.3 高阶导数 66 习题3.3 69 3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 69 3.4.1 隐函数的导数 69 3.4.2 由参数方程所确定的函数的导数 71 习题3.4 73 3.5 函数的微分 74 3.5.1 微分的定义 74 3.5.2 微分的几何意义 76 3.5.3 基本初等函数的微分公式与微分的运算法则 76 3.5.4 微分在近似计算中的应用 78 习题3.5 79 总习题三 81 4 中值定理及导数应用 83 4.1 中值定理 83 4.1.1 罗尔定理 83 4.1.2 拉格朗日中值定理 84 4.1.3 柯西中值定理 87 习题4.1 88 4.2 洛必达法则 89 4.2.1 00和∞∞未定式的极限 89 4.2.2 其他未定式的极限 91 习题4.2 93 4.3 函数的单调性与极值 93 4.3.1 函数单调性的判别法 93 4.3.2 函数的极值 95 习题4.3 99 4.4 函数的大值与小值 100 习题4.4 101 4.5 曲线的凹凸性及函数图形的描绘 102 4.5.1 曲线的凹凸性及拐点 102 4.5.2 曲线的渐近线 105 4.5.3 函数图形的描绘 106 习题4.5 108 4.6 泰勒公式 109 习题4.6 112 4.7 弧微分 曲率 112 4.7.1 弧微分 112 4.7.2 曲率 114 习题4.7 117 总习题四 117 5 不定积分 120 5.1 不定积分的概念和性质 120 5.1.1 原函数与不定积分的概念 120 5.1.2 不定积分的几何意义 121 5.1.3 基本积分表 121 5.1.4 不定积分的性质 122 习题5.1 124 5.2 换元积分法 124 5.2.1 换元积分法(凑微分法) 124 5.2.2 第二换元积分法 128 习题5.2 132 5.3 分部积分法 132 习题5.3 135 5.4 有理函数的不定积分 136 5.4.1 有理函数与有理函数的不定积分 136 5.4.2 三角函数有理式的不定 积分 138 习题5.4 139 总习题五 139 6 定积分 141 6.1 定积分的概念与性质 141 6.1.1 定积分概念产生的背景 141 6.1.2 定积分的定义 142 6.1.3 定积分的几何意义 144 6.1.4 定积分的性质 144 习题6.1 147 6.2 微积分基本公式 147 6.2.1 积分上限的函数及其导数 147 6.2.2 微积分基本公式 149 习题6.2 150 6.3 定积分的换元积分法与分部积分法 151 6.3.1 定积分的换元积分法 151 6.3.2 定积分的分部积分法 154 习题6.3 156 6.4 广义积分与Γ函数 156 6.4.1 无限区间的广义积分 156 6.4.2 无界函数的广义积分 158 6.4.3 Γ函数 159 习题6.4 160 6.5 定积分的应用 161 6.5.1 定积分的元素法 161 6.5.2 平面图形的面积 162 6.5.3 平面曲线的弧长 165 6.5.4 旋转体的体积与侧面积 166 6.5.5 平行截面的面积为已知的立体的体积 167 6.5.6 定积分在物理上的应用 168 习题6.5 170 总习题六 171 7 多元函数微分学 174 7.1 空间解析几何简介 174 7.1.1 空间直角坐标系 174 7.1.2 空间两点间的距离 175 7.1.3 n维空间 175 7.1.4 空间曲面及其方程 176 习题7.1 179 7.2 多元函数的基本概念 179 7.2.1 平面点集 179 7.2.2 二元函数的概念 180 7.2.3 二元函数的极限与连续 181 7.2.4 n元函数的概念 183 习题7.2 183 7.3 偏导数 184 7.3.1 偏导数的定义 184 7.3.2 偏导数的几何意义及函数连续性与可偏导性的关系 185 7.3.3 高阶偏导数 186 习题7.3 187 7.4 全微分 187 7.4.1 全微分的定义 187 7.4.2 函数可微分的条件 188 7.4.3 全微分在近似计算中的应用 189 习题7.4 190 7.5 复合函数与隐函数微分法 190 7.5.1 复合函数的微分法 190 7.5.2 隐函数的微分法 193 习题7.5 194 7.6 多元函数的极值问题 195 7.6.1 多元函数极值 195 7.6.2 条件极值与拉格朗日乘数法 198 习题7.6 201 总习题七 201 8 二重积分 204 8.1 二重积分的概念与性质 204 8.1.1 二重积分的概念 204 8.1.2 二重积分的性质 206 习题8.1 207 8.2 二重积分的计算 207 8.2.1 在直角坐标系下计算二重积分 207 8.2.2 在极坐标系下计算二重积分 211 8.2.3 广义二重积分 214 习题8.2 215 总习题八 216 9 无穷级数 219 9.1 常数项级数的概念和性质 219 9.1.1 常数项级数的概念 219 9.1.2 级数的基本性质 222 习题9.1 225 9.2 正项级数的审敛法 225 习题9.2 231 9.3 任意项级数及其审敛法 231 9.3.1 交错级数的收敛性 231 9.3.2 任意项级数的收敛与条件收敛 233 习题9.3 234 9.4 幂级数 235 9.4.1 函数项级数的一般概念 235 9.4.2 幂级数及其收敛性 236 9.4.3 幂级数的运算性质 240 习题9.4 242 9.5 函数展开成幂级数 243 9.5.1 泰勒级数 243 9.5.2 函数展开成幂级数的方法 245 习题9.5 250 9.6 函数的幂级数展开式的应用 250 9.6.1 函数值的近似计算 250 9.6.2 欧拉公式 252 习题9.6 253 总习题九 253 10 常微分方程 256 10.1 常微分方程的基本概念 256 习题10.1 258 10.2 一阶微分方程 258 10.2.1 可分离变量的微分方程 259 10.2.2 齐次方程 260 10.2.3 一阶线性微分方程 262 10.2.4 伯努利方程 264 习题10.2 265 10.3 可降阶的二阶微分方程 266 10.3.1 y″=f(x)型的微分方程 266 10.3.2 y″=f(x,y')型的微分方程 266 10.3.3 y″=f(y,y')型的微分方程 267 习题10.3 268 10.4 二阶线性微分方程解的结构 268 习题10.4 271 10.5 二阶常系数线性微分方程 271 10.5.1 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法 271 10.5.2 二阶常系数非齐次线性微分方程及其解法 274 习题10.5 279 10.6 微分方程的应用举例 279 习题10.6 283 总习题十 283 参考文献 286