薛定宇教授大讲堂(卷Ⅲ):MATLAB线性代数运算(第2版)

第 1章线性代数简介 1 1.1矩阵与线性方程组 1 1.1.1表格的矩阵表示 1 1.1.2线性方程组的建立与求解 4 1.2线性代数发展简介 8 1.2.1线性代数数学理论 8 1.2.2数值线性代数 10本章习题 12 第 2章矩阵的表示与基本运算 14 2.1一般矩阵的输入方法 15 2.1.1矩阵的一般形式 15 2.1.2实矩阵的输入 15 2.1.3复矩阵的输入 16 2.1.4矩阵对称性测试 16 2.2特殊矩阵的生成方法 17 2.2.1零矩阵、幺矩阵及单位阵 17 2.2.2 Hankel矩阵 18 2.2.3对角元素矩阵 19 2.2.4 Hilbert矩阵及 Hilbert逆矩阵 21 2.2.5相伴矩阵 22 2.2.6 Wilkinson矩阵 23 2.2.7 Vandermonde矩阵 23 2.2.8一些常用的测试矩阵 24 2.3伪随机数矩阵的生成 25 2.3.1均匀分布伪随机数 26 2.3.2随机整数矩阵 27 2.3.3测试矩阵生成 28 2.3.4正态分布伪随机数 29 2.3.5常用分布的伪随机数 31 2.4符号型矩阵的输入方法 32 2.4.1特殊符号矩阵的输入方法 32 2.4.2任意常数矩阵的输入 33 2.4.3任意矩阵函数的输入 34 2.5稀疏矩阵的输入 36 2.5.1一般稀疏矩阵的输入与转换 36 2.5.2特殊稀疏矩阵的输入 39 本章习题 41 第 3章矩阵的基本运算 46 3.1矩阵的转置与旋转 47 3.1.1矩阵转置与 Hermite转置 47 3.1.2矩阵翻转 48 3.1.3矩阵的旋转 49 3.2矩阵的代数运算 50 3.2.1矩阵的算术运算 50 3.2.2矩阵的乘方与开方 53 3.2.3矩阵的点运算 55 3.2.4 MATLAB的运算符 57 3.2.5矩阵的 Kronecker乘积与 Kronecker和 57 3.2.6复矩阵的处理 60 3.2.7矩阵的绝对值与符号提取 61 3.3矩阵元素的非线性运算 61 3.3.1数据的取整与有理化运算 62 3.3.2超越函数计算命令 63 3.3.3向量的排序、*大值与*小值 66 3.3.4数据的均值、方差与标准差 67 3.4矩阵函数的微积分运算 68 3.4.1矩阵函数的导数 68 3.4.2矩阵函数的积分 69 3.4.3向量函数的 Jacobi矩阵 70 3.4.4 Hesse矩阵 71本章习题 72 第 4章矩阵基本分析 75 4.1矩阵的行列式 76 4.1.1行列式的定义与性质 76 4.1.2矩阵行列式的计算方法 77 4.1.3行列式计算问题的 MATLAB求解 81 4.1.4任意阶特殊矩阵的行列式计算 84 4.1.5线性方程组的 Cramer法则 85 4.1.6正矩阵与完全正矩阵 87 4.2矩阵的简单分析 88 4.2.1矩阵的迹 88 4.2.2线性无关与矩阵的秩 89 4.2.3矩阵的范数 91 4.2.4向量空间 94 4.3逆矩阵与广义逆矩阵 96 4.3.1矩阵的逆矩阵 96 4.3.2 MATLAB提供的矩阵求逆函数 98 4.3.3简化的行阶梯型矩阵 100 4.3.4逆矩阵的导函数 102 4.3.5矩阵的广义逆矩阵 104 4.4特征多项式与特征值 107 4.4.1矩阵的特征多项式 107 4.4.2多项式方程的求根 109 4.4.3一般矩阵的特征值与特征向量 111 4.4.4矩阵的广义特征向量问题 115 4.4.5 Gershgorin圆盘与对角占优矩阵 116 4.5矩阵多项式 119 4.5.1矩阵多项式的求解 119 4.5.2矩阵的*小多项式 120 4.5.3符号多项式与数值多项式的转换 121 本章习题 123 第 5章矩阵的基本变换与分解 128 5.1相似变换与正交矩阵 129 5.1.1相似变换 129 5.1.2正交矩阵与正交基 130 5.1.3 Schmidt正交化方法 131 5.2初等行变换 132 5.2.1三种初等行变换方法 132 5.2.2用初等行变换的方法求逆矩阵 135 5.2.3主元素方法求逆矩阵 136 5.3矩阵的三角分解 137 5.3.1线性方程组的 Gauss消去法 137 5.3.2一般矩阵的三角分解方法与实现 138 5.3.3 MATLAB三角分解函数 139 5.4矩阵的 Cholesky分解 141 5.4.1对称矩阵的 Cholesky分解 141 5.4.2对称矩阵的二次型表示 142 5.4.3正定矩阵与正规矩阵 143 5.4.4非正定矩阵的 Cholesky分解 145 5.5相伴变换与 Jordan变换 145 5.5.1一般矩阵变换成相伴矩阵 146 5.5.2矩阵的对角化 146 5.5.3矩阵的 Jordan变换 147 5.5.4复特征值矩阵的实 Jordan分解 149 5.5.5正定矩阵的同时对角化 151 5.6奇异值分解 151 5.6.1奇异值与条件数 152 5.6.2长方形矩阵的奇异值分解 154 5.6.3基于奇异值分解的同时对角化 155 5.7 Givens变换与 Householder变换 155 5.7.1二维坐标的旋转变换 156 5.7.2一般矩阵的 Givens变换 158 5.7.3 Householder变换 160 本章习题 161 第 6章矩阵方程求解 164 6.1线性方程组 165 6.1.1唯一解的求解 166 6.1.2方程无穷解的求解与构造 170 6.1.3矛盾方程的求解 173 6.1.4线性方程解的几何解释 174 6.2其他形式的简单线性方程组 175 6.2.1方程 XA = B的求解 175 6.2.2方程 AXB = C的求解 177 6.2.3基于 Kronecker乘积的方程解法 179 6.2.4多项方程 AXB = C的求解 179 6.3 Lyapunov方程 180 6.3.1连续 Lyapunov方程 180 6.3.2二阶 Lyapunov方程的 Kronecker乘积表示 182 6.3.3一般 Lyapunov方程的解析解 182 6.3.4 Stein方程的求解 183 6.3.5离散 Lyapunov方程 184 6.4 Sylvester方程 185 6.4.1 Sylvester方程的数学形式与数值解 185 6.4.2 Sylvester方程的解析求解 186 6.4.3含参数 Sylvester方程的解析解 188 6.4.4多项 Sylvester方程的求解 189 6.4.5广义 Sylvester方程 190 6.5非线性矩阵方程 191 6.5.1 Riccati代数方程 191 6.5.2一般多解非线性矩阵方程的数值求解 193 6.5.3变形 Riccati方程的求解 197 6.5.4一般非线性矩阵方程的数值求解 198 6.6多项式方程的求解 199 6.6.1多项式互质 199 6.6.2 Diophantine多项式方程 200 6.6.3伪多项式方程求根 202本章习题 204 第 7章矩阵函数 208 7.1矩阵指数函数计算 209 7.1.1矩阵函数的定义与性质 209 7.1.2矩阵指数函数的运算 210 7.1.3基于 Taylor级数的截断算法 211 7.1.4基于 Cayley–Hamilton定理的算法 212 7.1.5 MATLAB的直接计算函数 213 7.1.6基于 Jordan变换的求解方法 214 7.2矩阵的对数与平方根函数计算 215 7.2.1矩阵的对数运算 215 7.2.2矩阵的平方根运算 217 7.3矩阵的三角函数运算 218 7.3.1矩阵的三角函数运算 218 7.3.2基于 Taylor级数展开的矩阵三角函数计算 218 7.3.3矩阵三角函数的解析求解 220 7.4一般矩阵函数的运算 222 7.4.1幂零矩阵 222 7.4.2基于 Jordan变换的矩阵函数运算 223 7.4.3矩阵自定义函数的运算 226 7.5矩阵的乘方运算 227 7.5.1基于 Jordan变换的矩阵乘方运算 227 7.5.2通用乘方函数的编写 228 7.5.3基于 z变换的矩阵乘方计算 229 7.5.4计算矩阵乘方 kA 231 本章习题 231 第 8章线性代数的应用 233 8.1向量空间的几何应用 234 8.1.1向量及运算 234 8.1.2直线方程 237 8.1.3平面方程 239 8.1.4*短距离的计算 242 8.1.5二次曲面方程 244 8.2线性方程组的应用 246 8.2.1电路网络分析 247 8.2.2结构平衡的分析方法 252 8.2.3化学反应方程式配平 252 8.3线性控制系统中的应用 255 8.3.1控制系统的模型转换 255 8.3.2线性系统的定性分析 256 8.3.3多变量系统的传输零点 258 8.3.4线性微分方程的直接求解 259 8.4数字图像处理应用简介 263 8.4.1图像的读入与显示 263 8.4.2矩阵的奇异值分解 264 8.4.3图像几何尺寸变换与旋转 266 8.4.4图像增强 267 8.5图论与应用 269 8.5.1有向图的描述 270 8.5.2 Dijkstra*短路径算法及实现 272 8.5.3控制系统方框图化简 275 8.6差分方程求解 278 8.6.1一般差分方程的解析解方法 279 8.6.2线性时变差分方程的数值解方法 280 8.6.3线性时不变差分方程的解法 282 8.6.4一般非线性差分方程的数值解方法 283 8.6.5 Markov链的仿真 284 8.7数据拟合与分析 286 8.7.1线性回归 286 8.7.2多项式拟合 288 8.7.3 Chebyshev多项式 290 8.7.4 Bézier曲线 292 8.7.5主成分分析 294 本章习题 297 参考文献 303 MATLAB函数名索引 305 术语索引 310