数值分析原理(第二版)

目录 前言 数值计算引论 1 0.1研究数值分析的必要性 1 0.2误差来源与误差概念 1 0.2.1误差来源 2 0.2.2绝对误差与相对误差 3 0.2.3有效数字 4 0.3数值计算中应注意的若干问题 5 0.3.1防止有效数字的损失 5 0.3.2减少计算次数 7 0.3.3避免使用不稳定的数值方法 8 第1章线性代数方程组数值解法 9 1.1向量范数与矩阵范数 9 1.1.1向量范数 10 1.1.2矩阵范数 10 1.1.3有关定理 15 1.2Gauss消去法 17 1.2.1Gauss消去法 17 1.2.2Gauss-Jordan消去法 20 1.2.3列选主元素消去法 21 1.2.4全主元素消去法 23 1.3三角分解法 23 1.3.1Doolittle分解方法 28 1.3.2Crout分解方法 31 1.3.3Cholesky分解方法 33 1.3.4解三对角方程组的追赶法 38 1.4矩阵的条件数及误差分析 40 1.4.1初始数据误差的影响及矩阵的条件数 40 1.4.2病态问题简介 43 1.5线性方程组的迭代解法 44 1.5.1收敛性 46 1.5.2Jacobi迭代 47 1.5.3Gauss-Seidel迭代 48 1.5.4超松弛迭代法 50 1.5.5迭代收敛其他判别方法 53 1.6梯度法 57 1.6.1等价性定理 57 1.6.2*速下降法 60 1.6.3共轭梯度法 62 习题1 68 第2章非线性方程和方程组的数值解法 72 2.1基本问题 72 2.1.1引言 72 2.1.2二分法 73 2.2不动点迭代法 75 2.2.1不动点与不动点迭代 75 2.2.2不动点迭代收敛阶 75 2.2.3计算效率 81 2.3Newton迭代法 81 2.3.1基于反函数Taylor展开的迭代法 81 2.3.2Newton迭代法 83 2.3.3Newton迭代法的修正 86 2.3.4重根上的Newton迭代法 87 2.3.5割线法 90 2.4非线性方程组的数值解法 93 2.4.1基本问题 93 2.4.2非线性方程组的不动点迭代法 94 2.4.3非线性方程组的Newton迭代法 96 2.4.4拟Newton法 97 习题2 100 第3章插值法与数值逼近 103 3.1多项式插值 103 3.1.1基本概念 103 3.1.2Lagrange插值公式 104 3.1.3Newton插值公式 110 3.1.4等距节点的Newton插值公式 114 3.1.5插值公式的收敛性与数值计算稳定性 117 3.1.6Hermite插值与分段插值 120 3.2样条插值 129 3.2.1引言 129 3.2.2基本概念 129 3.2.3三弯矩插值法 132 3.2.4三转角插值法 136 3.3*佳平方逼近 141 3.3.1函数的*佳平方逼近 141 3.3.2基于正交函数族的*佳平方逼近 146 3.3.3*线拟合的*小二乘逼近 157 3.3.4多项式*小二乘的光滑解 161 3.4周期函数的*佳平方逼近 164 3.4.1周期函数的*佳平方逼近 164 3.4.2离散情形 165 3.4.3周期复值函数的情形 167 3.5*佳一致逼近 168 3.5.1*佳一致逼近多项式的存在性 168 3.5.2Chebyshev定理 170 3.5.3零偏差*小问题 175 3.5.4*佳一次逼近多项式 175 3.5.5近似*佳一次逼近多项式 176 习题3 180 第4章数值积分 184 4.1数值积分的一般问题 184 4.1.1问题的提出 184 4.1.2数值积分的基本思想 185 4.1.3代入精度与插值型求积公式 185 4.2等距节点的Newton-Cotes公式 187 4.2.1Newton-Cotes公式 187 4.2.2Newton-Cotes公式数值稳定性 191 4.2.3Newton-Cotes公式的余项 191 4.2.4复化的Newton-Cotes公式 195 4.3Romberg积分法 199 4.3.1Richardson外推法 199 4.3.2Bernoulli多项式与Bernoulli数 201 4.3.3Euler-Maclaurin求和公式 204 4.3.4Romberg积分 208 4.4Gauss求积公式 211 4.4.1Gauss求积公式及其性质 211 4.4.2Gauss公式的数值稳定性 214 4.4.3Gauss-Legendre求积公式 215 4.5带权函数的Gauss型求积公式 219 4.5.1代数精度与数值稳定性 219 4.5.2无穷区间上的求积公式 223 4.5.3奇异积分 226 4.6复化的Gauss型求积公式 232 4.7自适应积分方法 235 4.8多重积分 236 习题4 237 第5章矩阵特征值计算 241 5.1特征值基本性质和估计 241 5.1.1特征值问题及其性质 241 5.1.2特征值估计 245 5.2幂法和反幂法 248 5.2.1幂法 248 5.2.2加速与收缩方法 253 5.2.3反幂法 256 5.3Jacobi方法 259 5.3.1旋转变换 260 5.3.2Jacobi方法 262 5.4Householder方法 265 5.4.1Householder变换 265 5.4.2对称三对角矩阵的特征值计算 269 5.4.3特征向量的计算 273 5.5LR和QR算法 273 习题5 277 第6章常微分方程数值解法 280 6.1初值问题数值方法的一般概念 280 6.2Euler法 282 6.2.1显式Euler法与隐式Euler法 282 6.2.2Euler法的局部截断误差与精度 285 6.2.3Euler法的稳定性 286 6.3Runge-Kutta法 288 6.3.1RK法的一般形式 289 6.3.2二级RK法 289 6.3.3四级RK法 292 6.3.4局部截断误差的实用估计 293 6.3.5单步法的收敛性、相容性、稳定性 295 6.4线性多步法 298 6.4.1线性多步法的一般形式 298 6.4.2线性多步法的逼近准则 299 6.4.3线性多步法阶与系数的关系 299 6.4.4线性多步法的构造方法 301 6.5线性多步法的收敛性 307 6.6线性多步法的数值稳定性 313 6.6.1差分方程解的性态 313 6.6.2积累误差的性态 314 6.6.3稳定性定义 315 6.7预测–校正方法 318 6.7.1基本思想 318 6.7.2基本方法 319 6.7.3预测–校正法和RK法的比较 323 6.8高阶方程和方程组 324 6.9Stiff方程简介 326 6.9.1Stiff方程 326 6.9.2A(α)稳定，刚性稳定 328 6.10边值问题数值方法 330 6.10.1打靶法 331 6.10.2有限差分法 333 习题6 336 参考文献 339