可视化微分几何和形式:一部五幕数学正剧

**幕 空间的本质 第1章 欧几里得几何与非欧几何 2 1.1 欧几里得几何与双曲几何 2 1.2 球面几何 5 1.3 球面三角形的角盈 8 1.4 曲面的内蕴几何与外在几何 9 1.5 通过“直性”来构作测地线 12 1.6 空间的本质 15 第2章 高斯曲率 18 2.1 引言 18 2.2 圆的周长和面积 20 2.3 局部高斯–博内定理 24 第3章 序幕和**幕的习题 26 第二幕 度量 第4章 曲面映射：度量 34 4.1 引言 34 4.2 球面的投影地图 36 4.3 一般曲面上的度量 38 4.4 度量曲率公式 41 4.5 共形地图 43 4.6 讲一点儿可视化的复分析 45 4.7 球面的共形球极地图 49 4.8 球极平面投影公式 53 4.9 球极平面投影的保圆性 55 第5章 伪球面和双曲平面 57 5.1 贝尔特拉米的洞察 57 5.2 曳物线和伪球面 58 5.3 伪球面的共形地图 61 5.4 贝尔特拉米–庞加莱半平面 62 5.5 利用光学来求测地线 65 5.6 平行角 68 5.7 贝尔特拉米–庞加莱圆盘 71 第6章 等距变换和复数 74 6.1 引言 74 6.2 默比乌斯变换 76 6.3 主要结果 82 6.4 爱因斯坦的时空几何学 84 6.5 三维双曲几何 90 第7章 第二幕的习题 96 第三幕 曲率 第8章 平面曲线的曲率 110 8.1 引言 110 8.2 曲率圆 112 8.3 牛顿的曲率公式 113 8.4 作为转向率的曲率 115 8.5 例子：牛顿的曳物线 119 第9章 三维空间中的曲线 121 第10章 曲面的主曲率 124 10.1 欧拉的曲率公式 124 10.2 欧拉的曲率公式的证明 126 10.3 旋转曲面 127 第11章 测地线和测地曲率 131 11.1 测地曲率和法曲率 131 11.2 默尼耶定理 133 11.3 测地线是“直的” 135 11.4 测地曲率的内蕴量度 136 11.5 量度测地曲率的一个简单的外在方法 136 11.6 用透明胶带构作测地线的一个新解释 137 11.7 旋转曲面上的测地线 138 11.7.1 球面上的克莱罗定理 138 11.7.2 开普勒第二定律 140 11.7.3 牛顿对开普勒第二定律的几何证明 142 11.7.4 克莱罗定理的动力学证明 144 11.7.5 应用：再看双曲平面上的测地线 146 第12章 曲面的外在曲率 149 12.1 引言 149 12.2 球面映射 149 12.3 曲面的外在曲率 151 12.4 哪些形状是可能的？ 154 第13章 高斯的绝妙定理 159 13.1 引言 159 13.2 高斯的漂亮定理(1816年) 159 13.3 高斯的绝妙定理(1827年) 161 第14章 尖刺的曲率 165 14.1 引言 165 14.2 锥形尖刺的曲率 165 14.3 多面角的内蕴曲率与外在曲率 168 14.4 多面体的绝妙定理 170 第15章 形状导数 172 15.1 方向导数 172 15.2 形状导数S 175 15.3 S的几何效应 176 15.4 绕道线性代数：奇异值分解和转置运算的几何学 177 15.5 S的一般矩阵 182 15.6 S的几何解释和[S]的化简 184 15.7 [S]由三个曲率完全确定 186 15.8 渐近方向 187 15.9 经典术语和记号：三种基本形式 189 第16章 全局高斯博内定理，引论 191 16.1 一些拓扑学知识与结果的陈述 191 16.2 球面和环面的曲率 194 16.2.1 球面的全曲率 194 16.2.2 环面的全曲率 196 16.3 看一看厚煎饼的K(Sg) 197 16.4 看一看面包圈和桥的K(Sg) 198 16.5 拓扑度和球面映射 200 16.6 历史注释 202 第17章 全局高斯博内定理的**个证明(启发性证明) 203 17.1 平面环路的全曲率：霍普夫旋转定理 203 17.2 变形圆周的全曲率 206 17.3 霍普夫旋转定理的启发性证明 208 17.4 变形球面的全曲率 209 17.5 全局高斯–博内定理的启发性证明 210 第18章 全局高斯博内定理的第二个证明(利用角盈) 213 18.1 欧拉示性数 213 18.2 欧拉的(经验的)多面体公式 213 18.3 柯西对欧拉多面体公式的证明 216 18.3.1 摊平了的多面体 216 18.3.2 多边形网的欧拉示性数 217 18.4 勒让德对欧拉多面体公式的证明 219 18.5 对曲面增加柄以提高其亏格 222 18.6 全局高斯–博内定理的角盈证明 225 第19章 全局高斯博内定理的第三个证明(利用向量场) 227 19.1 引言 227 19.2 平面上的向量场 227 19.3 奇点的指数 228 19.4 原型奇点：复幂函数 231 19.5 曲面上的向量场 234 19.5.1 蜂蜜流向量场 234 19.5.2 蜂蜜流与地形图的关系 236 19.5.3 怎样在曲面上定义奇点指数？ 238 19.6 庞加莱–霍普夫定理 239 19.6.1 例子：拓扑球面 239 19.6.2 庞加莱–霍普夫定理的证明 241 19.6.3 应用：欧拉–吕以利埃公式的证明 243 19.6.4 庞加莱的微分方程与霍普夫的线场的比较 244 19.7 全局高斯–博内定理的向量场证明 249 19.8 往前的路怎么走？ 253 第20章 第三幕的习题 255 第四幕 平行移动 第21章 一个历史谜团 268 第22章 外在的构作 270 22.1 一边前进，一边向曲面投影 270 22.2 测地线和平行移动 273 22.3 马铃薯削皮器的移动 274 第23章 内蕴的构作 278 23.1 沿测地线的平行移动 278 23.2 内蕴(即“协变”)导数 279 第24章 和乐性 283 24.1 例子：球面 283 24.2 一般的测地线三角形的和乐性 285 24.3 和乐性是可加的 286 24.4 例子：双曲平面 287 第25章 绝妙定理的一个直观几何证明 291 25.1 引言 291 25.2 关于记号和定义的一些说明 292 25.3 至今所知的故事 293 25.4 球面映射保持平行移动不变 294 25.5 再说漂亮定理和绝妙定理 295 第26章 全局高斯博内定理的第四个证明(利用和乐性) 297 26.1 引言 297 26.2 沿一条开曲线的和乐性？ 297 26.3 霍普夫对全局高斯–博内定理的内蕴证明 299 第27章 度量曲率公式的几何证明 301 27.1 引言 301 27.2 向量场围绕回路的环流量 303 27.3 排练：平面上的和乐性 304 27.4 和乐性作为地图中由度量定义的向量场的环流量 306 27.5 度量曲率公式的几何证明 309 第28章 曲率是相邻测地线之间的作用力 310 28.1 雅可比方程简介 310 28.1.1 零曲率：平面 310 28.1.2 正曲率：球面 312 28.1.3 负曲率：伪球面 314 28.2 雅可比方程的两个证明 315 28.2.1 测地极坐标 315 28.2.2 相对加速度=速度的和乐性 318 28.3 小测地圆的周长和面积 320 第29章 黎曼曲率 322 29.1 引言和概要 322 29.2 n 流形上的角盈 323 29.3 平行移动：三种构作方法 325 29.3.1 定角锥上的*近向量 325 29.3.2 在平行移动平面内的定角 326 29.3.3 希尔德的梯子 327 29.4 内蕴(又称“协变”)导数rv 327 29.5 黎曼曲率张量 329 29.5.1 绕一个小“平行四边形”的平行移动 329 29.5.2 用向量换位子把这个“平行四边形”封闭起来 331 29.5.3 黎曼曲率的一般公式 332 29.5.4 黎曼曲率是一个张量 334 29.5.5 黎曼张量的分量 336 29.5.6 对于固定的wo，向量的和乐性只依赖于回路所在的平面及其所围面积 337 29.5.7 黎曼张量的对称性 338 29.5.8 截面曲率 340 29.5.9 关于黎曼张量起源的历史注记 341 29.6 n 维流形的雅可比方程 343 29.6.1 截面雅可比方程的几何证明 343 29.6.2 截面雅可比方程的几何意义 345 29.6.3 雅可比方程和截面雅可比方程的计算证明 346 29.7 里奇张量 347 29.7.1 由一束测地线包围的面积的加速度 347 29.7.2 里奇张量的定义和几何意义 349 29.8 终曲 351 第30章 爱因斯坦的弯曲时空 352 30.1 引言：“我一生中*快乐的想法” 352 30.2 引力的潮汐力 354 30.3 牛顿引力定律的几何形式 358 30.4 时空的度量 360 30.5 时空的图示 362 30.6 爱因斯坦的真空场方程的几何形式 363 30.7 施瓦氏解和爱因斯坦理论的*初验证 366 30.8 引力波 371 30.9 爱因斯坦的(有物质的)场方程的几何形式 374 30.10 引力坍缩成为黑洞 377 30.11 宇宙学常数：“我一生中*严重的错误” 381 30.12 结束语 383 第31章 第四幕的习题 384 第五幕 形式 第32章 1-形式 394 32.1 引言 394 32.2 1-形式的定义 395 32.3 1-形式的例子 397 32.3.1 引力做功的1-形式 397 32.3.2 引力做功1-形式的可视化 398 32.3.3 等高线图和梯度1-形式 399 32.3.4 行向量 402 32.3.5 狄拉克符号(左矢) 402 32.4 基底1-形式 403 32.5 1-形式的分量 404 32.6 梯度df是1-形式 405 32.6.1 复习：梯度 f是一个向量 405 32.6.2 梯度df是一个1-形式 406 32.6.3 1-形式的笛卡儿基{dxj} 407 32.6.4 df =( xf)dx+( yf)dy的1-形式解释 408 32.7 1-形式加法的几何解释 408 第33章 张量 411 33.1 张量的定义：阶 411 33.2 例子：线性代数 412 33.3 从原有的张量做出新张量 412 33.3.1 加法 412 33.3.2 乘法：张量积 413 33.4 分量 413 33.5 度量张量与经典线元的关系 414 33.6 例子：再看线性代数 415 33.7 缩并 416 33.8 用度量张量来改变张量的阶 417 33.9 对称张量和反对称张量 419 第34章 2-形式 421 34.1 2-形式和p-形式的定义 421 34.2 例子：面积2-形式 422 34.3 两个1-形式的楔积 423 34.4 极坐标下的面积2-形式 426 34.5 基底2-形式及投影 427 34.6 2-形式与R3中向量的联系：流量 429 34.7 R3中向量积与楔积的关系 431 34.8 法拉第的电磁2-形式与麦克斯韦的电磁2-形式 433 第35章 3-形式 439 35.1 3-形式需要三个维度 439 35.2 一个2-形式与一个1-形式的楔积 439 35.3 体积3-形式 440 35.4 球极坐标中的3-形式 441 35.5 三个1-形式的楔积，p个1-形式的楔积 442 35.6 基底3-形式 444 35.7 Ψ^Ψ≠0可能吗？ 445 第36章 微分学 446 36.1 1-形式的外导数 446 36.2 2-形式和p-形式的外导数 448 36.3 形式的莱布尼茨法则 449 36.4 闭形式和恰当形式 450 36.4.1 基本结果：d2=0 450 36.4.2 闭形式和恰当形式 450 36.4.3 复分析：柯西–黎曼方程 451 36.5 用形式做向量运算 452 36.6 麦克斯韦方程组 456 第37章 积分学 459 37.1 1-形式的线积分 459 37.1.1 环流和功 459 37.1.2 与路径的无关性<=>闭合环路积分为零 460 37.1.3 恰当形式φ=df的积分 461 37.2 外导数是一个积分 461 37.2.1 1-形式的外导数 461 37.2.2 2-形式的外导数 465 37.3 外微积分基本定理(广义斯托克斯定理) 467 37.3.1 外微积分基本定理 467 37.3.2 相伴的历史问题 467 37.3.3 例子：面积 468 37.4 边界的边界是零 468 37.5 向量微积分的经典积分定理 469 37.5.1 Φ=0-形式 469 37.5.2 Φ=1-形式 470 37.5.3 Φ=2-形式 471 37.6 外微积分基本定理的证明 471 37.7 柯西定理 474 37.8 1-形式的庞加莱引理 474 37.9 德拉姆上同调初步 475 37.9.1 引言 475 37.9.2 一个特殊的二维涡旋向量场 476 37.9.3 涡旋1-形式是闭的 477 37.9.4 涡旋1-形式的几何意义 477 37.9.5 闭1-形式的环流的拓扑稳定性 478 37.9.6 **德拉姆上同调群 480 37.9.7 R3中的平方反比点源 482 37.9.8 第二德拉姆上同调群 483 37.9.9 环面的**德拉姆上同调群 485 第38章 用形式来讲微分几何 488 38.1 引言：嘉当的活动标架法 488 38.2 联络1-形式 490 38.2.1 关于符号的约定和两个定义 490 38.2.2 联络1-形式 491 38.2.3 注意：以前习惯的记号 493 38.3 姿态矩阵 494 38.3.1 通过姿态矩阵来讲连络形式 494 38.3.2 例子：柱面标架场 495 38.4 嘉当的两个结构方程 498 38.4.1 用ej的对偶dxj来表示mi的对偶θi 498 38.4.2 嘉当**结构方程 498 38.4.3 嘉当第二结构方程 499 38.4.4 例子：球面标架场 500 38.5 曲面的6个基本形式方程 505 38.5.1 使嘉当的活动标架适用于曲面：形状导数与外在曲率 505 38.5.2 例子：球面 507 38.5.3 基底分解的唯一性 508 38.5.4 曲面的6个基本形式方程 509 38.6 对称性方程和彼得松–梅纳第–科达齐方程的几何意义 510 38.7 高斯方程的几何形式 511 38.8 度量曲率公式和绝妙定理的证明 512 38.8.1 引理：ω12的唯一性 512 38.8.2 度量曲率公式的证明 512 38.9 一个新的公式 514 38.10 希尔伯特引理 514 38.11 利布曼的刚性球面定理 515 38.12 n 流形的曲率2-形式 517 38.12.1 引言和概述 517 38.12.2 广义外导数 519 38.12.3 由曲率2-形式导出黎曼张量 520 38.12.4 再论比安基恒等式 521 38.13 施瓦西黑洞的曲率 522 第39章 第五幕的习题 528 人名索引 541 术语索引 546