数值计算方法理论与典型例题选讲(第二版)

目录
第二版前言
**版前言
第1章 引言 1
1.1 误差、有效数字与机器数系 1
1.1.1 数值计算方法简介* 1
1.1.2 误差的概念 3
1.1.3 误差的来源与分类* 4
1.1.4 有效数字 6
1.1.5 机器数系* 7
1.2 误差的传播与防范措施 8
1.2.1 误差的传播机制 8
1.2.2 防止大数吃小数 10
1.2.3 防止计算过程数据溢出* 12
1.2.4 防止两个相近的数做减法 13
1.2.5 防止用 0 做除数* 14
1.2.6 简化计算步骤 15
1.2.7 用稳定的数值格式 16
1.3 典型例题分析* 17
第2章 插值法 19
2.1 插值问题 19
2.1.1 基本概念 19
2.1.2 插值多项式的存在性与唯一性 19
2.2 Lagrange 插值 20
2.2.1 Lagrange 插值多项式 20
2.2.2 插值余项 23
2.2.3 典型例题分析 23
2.3 差商与 Newton 插值 25
2.3.1 差商的概念与性质 25
2.3.2 Newton 插值多项式 27
2.3.3 典型例题分析 29
2.4 差分与等距节点插值 31
2.4.1 差分及其性质 31
2.4.2 等距节点插值公式 32
2.4.3 典型例题分析 33
2.5 Hermite (埃尔米特) 插值* 35
2.5.1 Hermite 插值多项式的构造 35
2.5.2 典型例题分析 36
2.6 三次样条插值 37
2.6.1 高次插值的误差分析与 Runge (龙格) 现象 37
2.6.2 分段插值 39
2.6.3 三次样条插值函数 39
2.6.4 三次样条插值函数的构造方法 40
2.6.5 三次样条插值的误差估计和统一表达式 43
2.6.6 典型例题分析 44
第3章 线性方程组的直接解法 47
3.1 Gauss 消元法 47
3.1.1 三角形方程组的解法 47
3.1.2 求线性代数方程组的 Gauss 消元法 49
3.1.3 Gauss 消元法的执行条件 51
3.1.4 列主元消元法 53
3.1.5 全主元消元法* 54
3.1.6 典型例题分析 56
3.2 Gauss-Jordan(高斯-若尔当) 消元法与矩阵求逆* 57
3.2.1 Gauss-Jordan 消元法 57
3.2.2 用 Gauss-Jordan 消元法求逆矩阵 59
3.2.3 典型例题分析 60
3.3 矩阵分解 61
3.3.1 Gauss 消元法的矩阵解释 61
3.3.2 矩阵 LU 分解的紧凑格式与解方程组的 Doolittle 方法 63
3.3.3 正定阵的 Doolittle 分解 67
3.3.4 Cholesky(楚列斯基) 分解与解方程组的平方根法 69
3.3.5 LDLT 分解与求方程组的改**方根法 70
3.3.6 带列主元的三角分解* 72
3.3.7 典型例题分析 73
3.4 追赶法 76
3.4.1 求三对角方程组的追赶法 77
3.4.2 典型例题分析 80
3.5 向量范数 81
3.5.1 向量范数的概念与性质 81
3.5.2 向量范数的等价性和一致连续性* 82
3.5.3 典型例题分析 84
3.6 矩阵范数 85
3.6.1 方阵的范数 85
3.6.2 复空间上的矩阵范数* 88
3.6.3 典型例题分析 90
3.7 方程组的误差分析与病态改善 90
3.7.1 矩阵的条件数与病态性 90
3.7.2 方程组的摄动分析 93
3.7.3 Gauss 消元法的浮点误差分析* 95
3.7.4 方程组的病态检测与条件预优法* 97
第4章 方程求根 100
4.1 方程根的存在性、唯一性与有根区间* 100
4.1.1 方程根的概念与存在唯一性 100
4.1.2 有根区间的确定方法 101
4.1.3 典型例题分析 101
4.2 二分法 102
4.2.1 求非线性方程的二分法 102
4.2.2 典型例题分析 104
4.3 Picard 迭代法 104
4.3.1 Picard 迭代法的构造 104
4.3.2 Picard 迭代的收敛性 105
4.3.3 Picard 迭代法敛散性的几何解释 107
4.3.4 Picard 迭代的局部收敛性和误差估计 108
4.3.5 Picard 迭代法的收敛速度与渐进误差估计 109
4.3.6 典型例题分析 110
4.4 Newton-Raphson 迭代法 112
4.4.1 Newton-Raphson 迭代法的构造 112
4.4.2 Newton 法的收敛性 113
4.4.3 Newton 法的改进* 114
4.4.4 求非线性方程组的 Newton 法* 115
4.4.5 典型例题分析 116
4.5 割线法 118
4.5.1 割线法与收敛性 118
4.5.2 典型例题分析 120
4.6 迭代加速方法 121
4.6.1 Aitken(艾特肯) 加速法 121
4.6.2 Steffensen(斯特芬森) 迭代法 121
4.6.3 其他加速技巧* 122
4.6.4 典型例题分析 122
4.7 代数方程求根算法 123
4.7.1 秦九韶算法在多项式求值中的应用 123
4.7.2 秦九韶算法在多项式求导数中的应用* 124
4.7.3 秦九韶算法在代数方程求根中的应用* 126
4.7.4 代数方程求根的劈因子法* 126
4.7.5 典型例题分析 129
第5章 线性方程组的迭代解法 132
5.1 迭代法的构造 132
5.1.1 迭代法的概念与一阶定常迭代法 132
5.1.2 Jacobi 迭代法 133
5.1.3 Gauss-Seidel 迭代法 134
5.1.4 典型例题分析 136
5.2 迭代法的收敛性 137
5.2.1 一阶定常迭代法的收敛性 137
5.2.2 Jacobi 迭代与 Gauss-Seidel 迭代收敛性的判定* 141
5.2.3 迭代法的收敛速度 143
5.2.4 典型例题分析 144
5.3 逐次超松弛迭代法 (SOR 方法) 147
5.3.1 SOR 迭代的构造 147
5.3.2 SOR 方法的收敛性 148
5.3.3 相容次序与*佳松弛因子的选择* 149
5.3.4 典型例题分析 150
第6章 近似理论 153
6.1 矩阵的广义逆 153
6.1.1 Moore-Penrose(摩尔–彭罗斯) 广义逆的定义与存在唯一性 153
6.1.2 Moore-Penrose 广义逆的性质 154
6.1.3 典型例题分析 155
6.2 方程组的*小二乘解 157
6.2.1 方程组的*小二乘解 157
6.2.2 方程组的极小*小二乘解 159
6.2.3 典型例题分析 160
6.3 矩阵的正交分解 161
6.3.1 Gram-Schmidt 正交化方法 161
6.3.2 矩阵的正交分解在求极小*小二乘解中的应用 165
6.3.3 Householder 变换* 165
6.3.4 Householder 变换在矩阵正交分解中的应用* 167
6.3.5 典型例题分析 169
6.4 矩阵的奇异值分解* 173
6.4.1 矩阵的奇异值分解与性质 173
6.4.2 典型例题分析 176
6.5 数据拟合 177
6.5.1 数据拟合法 178
6.5.2 典型例题分析 179
6.6 正交多项式 181
6.6.1 正交多项式的概念与性质 181
6.6.2 **类 Chebyshev 多项式的性质 184
6.6.3 Chebyshev 正交多项式的应用简介* 186
6.6.4 典型例题分析 190
6.7 线性*小二乘问题 193
6.7.1 点集函数与线性*小二乘问题 193
6.7.2 正交多项式在数据拟合中的应用 197
6.7.3 典型例题分析 198
6.8 函数逼近 199
6.8.1 函数逼近问题 199
6.8.2 *佳一致逼近 201
6.8.3 *佳平方逼近 204
6.8.4 典型例题分析 207
第7章 数值积分与数值微分 212
7.1 Newton-Cotes(牛顿-科茨) 型求积公式 212
7.1.1 中矩形公式和梯形公式 212
7.1.2 插值型求积公式 213
7.1.3 求积公式的代数精确度 215
7.1.4 Newton-Cotes 型求积公式的构造与误差分析 216
7.1.5 几种低阶求积公式的余项 219
7.1.6 典型例题分析 220
7.2 复化求积法 221
7.2.1 复化梯形公式 221
7.2.2 复化 Simpson 公式与复化 Cotes 公式 222
7.2.3 区间逐次二分法* 223
7.2.4 典型例题分析 224
7.3 Romberg 算法与自适应 Simpson 算法 226
7.3.1 复化求积公式的阶 226
7.3.2 Romberg 算法 226
7.3.3 自适应 Simpson 法* 229
7.3.4 典型例题分析 231
7.4 Gauss 型求积公式 231
7.4.1 Gauss 型求积公式的概念 231
7.4.2 Gauss 点 233
7.4.3 Gauss-Legendre 公式 234
7.4.4 带权的 Gauss 型求积公式* 236
7.4.5 稳定性和收敛性* 238
7.4.6 典型例题分析 239
7.5 数值微分* 240
7.5.1 插值型求导公式 240
7.5.2 三次样条插值求导 243
7.5.3 典型例题分析 243
第8章 常微分方程数值解法 245
8.1 常微分方程初值问题与 Euler 法 245
8.1.1 初值问题解的存在唯一性* 245
8.1.2 Euler 法与几何意义 246
8.1.3 一般单步法与构造 248
8.1.4 误差与差分格式的阶 249
8.1.5 典型例题分析 250
8.2 Runge-Kutta