几何之美

第1章 π——一首无穷无尽的歌 一、π是什么？ 2 二、人类对π的探究 3 三、布丰试验 8 四、π的性质 9 五、含有π的数学公式 10 六、π的趣闻 11 综合与实践 15 第2章 尺规作图——跨越两千年的探索 一、几何作图三大问题 17 二、跳出“尺规”框框 19 三、尺规作正多边形 21 四、尺规作图的意义 25 五、尺规作图的继承与创新 25 综合与实践 28 第3章 柏拉图多面体 一、柏拉图多面体 30 二、和谐互容，天作之美 31 三、阿基米德体与卡塔朗体 35 四、星形和星体 38 五、柏拉图体与艺术创作 41 综合与实践 42 第4章 几何错视与数学艺术 一、直觉不可靠 44 二、图形悖论 48 三、数学艺术——艺术创作新领地 49 综合与实践 53 第5章 图形变换——变出精彩 一、杜德尼分割 55 二、平移 56 三、旋转 57 四、对称与翻折 59 五、图形的分割与拼合 62 六、级数求和的无字证明 63 七、以直“绣”曲 65 综合与实践 69 第6章 七巧板——风靡 的东方魔板 一、七巧板风靡 72 二、七巧板的演变过程 73 三、七巧板制作及基本要素分析 75 四、七巧板拼图游戏规则 77 五、由七巧板提出的数学问题 78 六、七巧板的各种变式及应用 82 综合与实践 83 第7章 坐标几何——揭开几何新篇章 一、解析几何的诞生 86 二、坐标法的日臻完善 88 三、数形结合解析法 90 综合与实践 92 第8章 勾股定理——悠悠四千年的故事 一、神秘的泥版 95 二、勾股定理——神赐予的光明 96 三、五花八门的证明 97 四、《九章算术·勾股》在丝绸之路沿途留下的印迹 101 五、会下“金蛋”的鹅 102 六、勾股定理万花筒 103 综合与实践 106 第9章 迷人的镶嵌 一、正多边形镶嵌 109 二、一般凸多边形（非正多边形）镶嵌 112 三、其他花样平面镶嵌 117 四、平面镶嵌设计 117 五、彭罗斯镶嵌及非周期性镶嵌 123 六、埃舍尔镶嵌与艺术镶嵌设计 126 七、镶嵌艺术作品欣赏 127 综合与实践 128 0章 向量几何——架起几何—代数新桥梁 一、向量发展简史 130 二、向量进入中学 130 三、向量魅力何在？ 132 四、中学向量知识结构 133 五、向量方法解题 134 综合与实践 138 1章 阿波罗尼奥斯定理 一、阿波罗尼奥斯定理 140 二、阿波罗尼奥斯定理的推广 141 综合与实践 146 2章 海伦-秦九韶公式 一、海伦-秦九韶公式 148 二、三角形面积公式大观园 150 三、海伦-秦九韶公式的推广 152 四、海伦三角形 155 综合与实践 157 3章 三角形五心——心心相印 一、三角形的五心 159 二、三角形的其他巧合点和线 160 三、与五心相关的性质 166 综合与实践 175 4章 斯坦纳-雷米欧司定理 一、吴文俊也研究过这道名题 177 二、定理的证明与推广 177 三、两道以斯坦纳-雷米欧司定理为背景的赛题 181 四、吴文俊的研究 182 综合与实践 184 5章 正方形 一、问题溯源 186 二、数学家的探索 187 三、 正方形的构造 191 四、问题拓展 192 综合与实践 194 6章 美的密码——黄金分割 一、黄金比、黄金数 196 二、美的密码——形影不离的黄金比 200 三、多彩世界处处见“黄金” 204 综合与实践 210 7章 梅涅劳斯定理和塞瓦定理 一、共点线与共线点——体会和谐对称之美 213 二、定理的应用——体会对称简洁之美 214 三、定理的推广 218 综合与实践 224 8章 是圆 一、圆的位置关系 226 二、与圆有关的角 228 三、圆与正多边形 229 四、圆幂定理 231 五、涉圆趣题 233 六、借助圆解释基本不等式 235 七、涉圆名题 235 八、滚动的圆 242 综合与实践 244 9章 翩翩起舞的蝴蝶定理 一、梯形中的蝴蝶定理 247 二、角上的蝴蝶定理 248 三、筝形上的蝴蝶定理 248 四、一般四边形上的蝴蝶定理 249 五、圆上的蝴蝶定理 252 六、圆锥曲 的蝴蝶定理 255 综合与实践 258 第20章 天鹅之歌——帕普斯定理与帕斯卡定理 一、帕普斯定理 260 二、16岁天才少年发现的定理 260 三、证明与推广 262 四、帕斯卡三角形 265 综合与实践 265 第21章 维恩图 一、集合之间的关系 267 二、集合的运算与运算律 268 三、容斥原理 269 四、四个集合的维恩图 270 五、丰富多彩的维恩图 272 六、维恩图的应用 273 综合与实践 275 第22章 不等式的几何表示 一、基本不等式 277 二、柯西不等式 278 三、闵可夫斯基不等式 279 四、糖水不等式 280 五、排序不等式和切比雪夫不等式 281 六、均值不等式 283 七、对数不等式 284 八、约当不等式 285 九、阿里斯塔克不等式 285 十、舒尔不等式 286 综合与实践 287 第23章 三角形中的Soddy圆 一、三角形的Soddy点和Soddy圆 290 二、Soddy点和Soddy圆的作图方法 293 三、Soddy点的奇妙性质 294 四、三维空间中的Soddy球 296 综合与实践 298 第24章 从英国海岸线谈起 一、大自然的几何图形 300 二、英国的海岸线有多长？ 302 三、欧氏几何和分形几何的不同点 304 四、生成分形的方法 304 五、混沌理论中的吸引子 309 六、分形的维数 311 七、电影的分形艺术 314 综合与实践 316 第25章 四边形的婆罗摩笈多公式 一、四条线段何时能够构成四边形？ 318 二、四条边长确定的四边形何时面积 ？ 319 三、布雷特施奈德公式 322 综合与实践 324 第26章 凸四边形的外接椭圆 一、圆锥曲线的定义 326 二、四边形外接椭圆的覆盖区域 327 三、凸四边形外接椭圆的中心的轨迹 329 四、椭圆内接（外切）特殊四边形的性质 331 综合与实践 333 第27章 全等分割与希尔伯特第三问题 一、全等分割和全等拼补 335 二、希尔伯特第三问题 338 三、巴拿赫-塔斯基分球怪论 342 综合与实践 345 第28章 堆球问题与开普勒猜想 一、开普勒猜想的由来 347 二、格堆积问题 348 三、牛顿问题和亲吻数 350 四、伏龙诺伊图和狄隆涅三角化 355 综合与实践 362