从大学数学走向现代数学

**章  从代数运算到代数结构  1.1  代数运算和代数结构    1.1.1  什么是代数运算    1.1.2  代数运算的规律    1.1.3  什么是代数结构    1.1.4  关于运算的同余关系  1.2  群    1.2.1  对称与群    1.2.2  群的定义与性质    1.2.3  子群与商群  1.3  环、域    1.3.1  环的定义、性质与类型    1.3.2  子环与商环    1.3.3  域  1.4  模    1.4.1  模、子模、商模    1.4.2  自由模  1.5  同态与同构    1.5.1  同态与同构    1.5.2  同态基本定理    1.5.3  对代数体系的分类第二章  从有限维空间到无限维空间  2.1  为什么要引入无限维空间    2.1.1  n维euclid空间rn    2.1.2  无限维空间  2.2  度量空间中的收敛性、完备性和紧性    2.2.1  度量空间及其中点列的收敛性    2.2.2  空间的完备性与完备化    2.2.3  列紧性与紧性  2.3  赋范线性空间与hahn-banach定理    2.3.1  赋范线性空间    2.3.2  等价范数与有限维赋范线性空间的特征    2.3.3  有界线性算子与有界线性泛函    2.3.4  hahn-banach定理与对偶空间    2.3.5  各种收敛性  2.4  hilbert空间与fourier展开    2.4.1  hilbert空间与正交投影    2.4.2  hilbert空间的正交系与：fourier展开    2.4.3  可分hilbert空间的同构性与hilbert空间的自共轭性第三章  从函数到算子  3.1  函数概念发展的历史简述  3.2  从函数到映射与算子  3.3  广义函数(分布)第四章  从序列收敛到网收敛  4.1  数列与序列  4.2  度量空间中的序列    4.2.1  度量空间中序列的极限    4.2.2  度量所诱导的拓扑    4.2.3  用序列描述闭集和开集    4.2.4  连续映射    4.2.5  紧度量空间  4.3  拓扑空间中的网    4.3.1  从riemann积分的定义看序列概念的局限性    4.3.2  拓扑空间    4.3.3  拓扑空间的若干基本性质    4.3.4  拓扑空间上的连续映射    4.3.5  乘积拓扑空间    4.3.6  定向集与网    4.3.7  用网描述拓扑空间中的基本概念第五章  从导数到广义导数  5.1  从微积分中的导数谈起    5.1.1  微积分中的导数    5.1.2  导数概念的一种*直接和自然的推广  5.2  广义函数与广义导数  5.3  导子  5.4  切丛与向量丛第六章  从newton-leibniz公式到stokes公式  6.1  newton-leibniz公式及其在高维的推广  6.2  外微分式和外微分    6.2.1  微分的意义    6.2.2  外形式    6.2.3  外微分式    6.2.4  外微分    6.2.5  积分    6.2.6  stokes公式  6.3  微分流形上的stokes公式    6.3.1  微分流形的概念    6.3.2  外微分的形式不变性    6.3.3  在光滑流形上外微分式的积分    6.3.4  微分流形上的stokes公式  6.4  stokes公式的意义第七章  从taylor公式到学习理论  7.1  taylor公式及其发展    7.1.1  一元函数的taylor公式    7.1.2  多元函数的taylor公式    7.1.3  banach空间上的及taylor公式  7.2  从函数展开到fourier分析    7.2.1  多项式展开    7.2.2  hilbert空间理论    7.2.3  fourier分析    7.2.4  fourier变换  7.3  从函数近似到逼近论    7.3.1  用已知有限点信息的近似——数值逼近    7.3.2  用简单函数的近似——函数逼近论  7.4  小波分析与神经网络    7.4.1  小波分析    7.4.2  神经网络第八章  从矩阵的特征值到算子的谱  8.1  从矩阵的特征值谈起  8.2  线性算子的谱  8.3  紧算子和对称算子的谱    8.3.1  紧算子的谱    8.3.2  对称算子的谱  8.4  自伴算子的谱分析  8.5  结束语第九章  从微分方程到动力系统  9.1  动力系统    9.1.1  从微分方程到动力系统，结构稳定与分支的定义    9.1.2  奇点附近的局部结构，稳定和不稳定流形，中心流形    9.1.3  轨道的大范围性质，闭轨与极限集，lyapunov稳定性    9.1.4  平面动力系统的极限环，hilbert第16个问题  9.2  平面动力系统的结构稳定与分支现象    9.2.1  一个大范围的结构稳定性定理    9.2.2  平面系统的分支现象第十章  从随机变量到随机过程  10.1  随机变量与随机向量    10.1.1  概率空间    10.1.2  随机变量    10.1.3  随机向量  10.2  随机过程的定义  10.3  随机过程的基本性质    10.3.1  可测性    10.3.2  可分性    10.3.3  样本函数的连续性  10.4  几类重要的随机过程    10.4.1  brown运动    10.4.2  markov过程    10.4.3  平稳过程  10.5  鞅    10.5.1  条件数学期望    10.5.2  鞅的定义    10.5.3  关于鞅的几个重要结果第十一章  从数学应用题到数学建模  11.1  数学建模的基本过程与框架  11.2  数学模型必须接受实际检验  11.3  数据处理  11.4  模型的不断改进  11.5  层次分析法  11.6  针对不同的实际问题建立不同的数学模型第十二章  从stirling公式到积分的渐近逼近  12.1  渐近分析的故事  12.2  bernoulli数  12.3  bernoulli多项式  12.4  euler-maclaurin求和公式  12.5  euler-maclaurin公式应用举例  12.6  riemann f函数的初步介绍  12.7  watson公式和laplace公式第十三章  从平坦的欧氏空间到弯曲的黎曼空间  13.1  从欧氏几何到非欧几何  13.2  从解析几何到微分几何  13.3  从欧拉的微分几何到高斯的微分几何    13.3.1  平面曲线的描述    13.3.2  空间曲线的描述    13.3.3  三维欧氏空间中曲面的描述    13.3.4  高斯曲率的内在意义  13.4  黎曼空间的几何参考文献