建筑力学

平面力系 基本要求：了解平面力系、力的平移的概念；掌握力的投影；了解平面一般力系的简化；掌握平面一般力系平衡方程的应用及物体系统平衡。 重点：力的投影；平面一般力系平衡方程的应用。 难点：平面一般力系平衡方程的应用。 作用在同一物体上的一群力统称为力系。力系中各力的作用线若在同一平面内，则该力系称为平面力系。平面力系中若各力的作用线汇交于一点，则该力系称为平面汇交力系；若各力作用线相互平行，则该力系称为平面平行力系；若各力作用线任意分布，则称为平面一般力系。 任务平面汇交力系的简化 一、 力的投影 1. 力在坐标轴上的投影 如图3.1（a)所示，力F作用于物体上的A点，用线段AB表示。在力F的作用平面内建立直角坐标系xOy，从力F的两端A点和B点分别向x轴作垂线，垂足分别为a和b，线段ab加上正号或负号，就称为力F在x轴上的投影，用X表示。用同样的方法可以得到y轴上的a′b′，a′b′为力F在y轴上的投影，用Y表示。 图3.1 投影的正负规定：当力的投影起点a到投影终点b的方向与投影轴正向一致时，投影为正值，反之为负。通常，可直观判断出力投影的正负号。图3.1(a)中力F的投影X、Y均为正值；图3.1(b)中，力F的投影均为负值。 投影X、Y可用式(3.1)计算： X=±Fcosα Y=±Fsinα(3.1) 式（3.1)中，α为力F与x轴所夹的锐角。 投影的两种特殊情况： (1) 当力与坐标轴垂直时，力在该轴上的投影为零； (2) 当力与坐标轴平行时，力在该轴上投影的绝对值等于该力的大小。 图3.1中还画出了力F沿直角坐标轴方向的分力Fx和Fy，从图中可以看出，分力与力的投影的不同：力的投影只有大小和正负，是标量；而分力既有大小又有方向，是矢量。 图3.2 例3.1 分别求出图3.2所示各力在x轴和y轴上的投影。F1=100 N，F2=200 N，F3=300 N，F4=400 N，各力的方向如图所示。 解 （1) 由式（3.1)可得各力在x轴和y轴上的投影分别为： F1x=F1cos0°=100×1 N=100 N F1y=F1sin0°=100×0 N=0 N F2x=F2cos60°=200×0.5 N=100 N F2y=F2sin60°=200×0.866 N=173.2 N F3x=-F3cos45°=-300×0.707 N=-212.1 N F3y=F3sin45°=300×0.707 N=212.1 N F4x=F4cos60°=400×0.5 N=200 N F4y=-F4sin60°=-400×0.866 N=-346.4 N 2. 合力投影定理 如图3.3(a)所示，某物体上的点O受到平面汇交力F1、F2、F3作用，从任一点A作力的多边形ABCD，从而求得合力FR，如图3.3(b)所示。在力系所在平面内建立x轴，并将各力都投影到x轴上，可得： X1=ab，X2=bc，X3=-cd，XR=ad 而ad=ab+bc-cd，因此得 XR=X1+X2+X3 由此可推知任意汇交力的情形，即 XR=X1+X2+X3+…+Xn=∑X(3.2) 合力在任一坐标轴上的投影，等于各分力在同一坐标轴上投影的代数和，这就是平面汇交力系合力投影定理。合力投影定理建立了合力投影与分力投影之间的关系，为进一步用解析法求平面一般力系的合力奠定了基础。 图3.3 二、 平面汇交力系的合成 在实际力学计算中,平面汇交力系的合成多采用解析法,其基本步骤如下: 建立直角坐标系，先用式(3.1)分别计算各力在x轴、y轴上的投影；再根据合力投影定理，用式(3.2)计算合力FR在x轴、y轴上的投影；;后用式(3.3)求出合力FR的大小和方向，如图3.4所示。 图3.4 FR=X2R+Y2R=∑X2+∑Y2 tanα=YRXR=∑Y∑X(3.3) 式（3.3）中α为合力FR与x轴所夹的锐角。FR的作用线通过力系的汇交点，其指向由XR和YR的正负号来确定，如图3.5所示。 例3.2 用解析法求图3.6所示的由F1=50 kN,F2=100 kN,F3=150 kN构成的平面汇交力系的合力。 图3.5 图3.6 解 （1) 建立图3.6所示的坐标系。 （2) 计算各力投影，再计算合力的投影： XR=∑X=X1+X2+X3 =（-50+0+150×cos45°） kN =56.05 kN YR=∑Y=Y1+Y2+Y3 =(0-100-150×sin45°) kN =-206.05 kN (3) 代入式(3.3)求出合力FR的大小和方向： FR=∑X2+∑Y2=56.052+(-206.05)2 kN=213.54 kN tanα=∑Y∑X=206.0556.05=3.68,α=74.78° XR为正，YR为负，故FR在第四象限，如图3.6所示。 任务平面一般力系的简化 一、 力的平移定理 设有一力F作用于刚体上的A点，如图3.7所示，在刚体上任取一点O，并在点O加上两个等值反向的平衡力F′和F″，使其作用线与力F的作用线平行，且F=-F′=F″，显然三个力的新力系与原来的一个力等效。此时可把这三个力看作是一个作用在点O的力F″和一个力偶（F，F′)。这样，就把作用于点A的力F平移到另一个点O，但同时附加上一个相应的力偶，附加力偶的力偶矩为 M=±Fd（3.4) 其中d为附加力偶的力偶臂，也就是点O到力F的作用线的距离。 图3.7 由此可得力的平移定理：作用于刚体上点A的力F可以平行移到任一点O，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的力偶矩等于原来的力F对新作用点O的矩。 二、 平面一般力系向平面内一点简化 假设物体上作用有平面一般力系F1，F2，…，Fn,在力系作用平面内任选一点O为简化中心。应用力的平移定理，将力系中各力向O点平移，即可得到作用于O点的平面汇交力系F′1，F′2，…，F′n和力偶矩分别为M1，M2，…，Mn的附加平面力偶系，如图3.8所示。 图3.8 上述汇交力系可合成为作用于O点的合力FR，FR称为原平面一般力系的主矢，其大小和方向由式（3.5)可得： FR=F2x+F2y=∑X2+∑Y2 tanα=FyFx=∑Y∑X（3.5) 式中α为合力FR与x轴所夹的锐角，合力的指向由∑X与∑Y的正负号决定。 附加平面力偶系可以合成为一个力偶，其力偶矩MO称为原平面一般力系对O点的主矩，即 MO=MOF1+MOF2+…+MO(Fn)=∑MO(F)(3.6) 综上所述，平面一般力系向作用面内任一点O简化，一般可得到一个力FR和一个力偶MO。力的作用线通过简化中心，它的矢量等于原力系中各力的矢量和，力偶的力偶矩等于原力系中各力对简化中心之矩的代数和。 任务平面力系的平衡条件及应用 一、 平面一般力系的平衡方程 平面一般力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和主矩都等于零。即FR=0,MO=0。 1. 基本形式 由FR=0,MO=0可得平面一般力系的平衡方程为 ∑X=0 ∑Y=0 ∑MO(F)=0(3.7) 由此可得出结论，平面一般力系平衡的解析条件是：所有各力在两个任选的直角坐标轴上的投影的代数和分别等于零，同时各力对作用面内任一点之矩的代数和也等于零。式（3.7)称为平面一般力系平衡方程的基本形式，前两式称为投影方程，后一式称为力矩方程。式中有三个方程，只能求解三个未知数。 2. 二力矩形式 用力矩方程代替投影方程可得平面一般力系平衡方程的二力矩形式和三力矩形式，即 ∑X=0 ∑MA(F)=0 ∑MB(F)=0（3.8) 其中A、B两点的连线不得垂直于x轴。 3. 三力矩形式 ∑MA(F)=0 ∑MB(F)=0 ∑MC(F)=0(3.9) 其中A、B、C三点不得共线。 例3.3 如图3.9(a)所示简支梁AB，作用于梁跨中有集中力F=20 kN，梁的自重不计，尺寸如图所示，试求A、B处的支座反力。 图3.9 解 (1) 选简支梁为研究对象，画受力图如图3.9(b)所示。 (2) 建立图3.9(b)所示的坐标轴，列平衡方程得： 由∑X=0得 RAx-20×cos30°=0 RAx=17.32 kN 由∑MA(F)=0得 RB×3-20×sin30°×1.5=0 RB=5 kN 由∑MB(F)=0得 20×sin30°×1.5-RAy×3=0 RAy=5 kN (3) 复核 ∑Y=0,RAy+RBy-Fsin30°=0 由此可得上述计算结果无误。 例3.4 如图3.10(a)所示悬臂刚架，受水平推力F=10 kN的作用，刚架顶上有均布荷载q=4 kN/m。刚架自重不计，尺寸如图3.10(a)所示，试求A处的支座反力。 图3.10 解 (1) 选刚架AC为研究对象，画受力图如图3.10(b)所示。 (2) 建立图3.10(b)所示的坐标轴，列平衡方程得： ∑X=0,RAx+F=0 RAx=-F=-10 kN ∑Y=0,RAy-q×3=0 RAy=4×3 kN=12 kN ∑MA(F)=0，MA-F×2-q×3×32=0 MA=10×2+4×3×32 kN·m=38 kN·m 任务物体系统的平衡 前面研究的是单个物体的平衡问题，而在实际力学计算中，研究对象往往是由多个物体按一定方式组合而成的整体，即物体系统。 在研究物体系统平衡时，很多时候只以整体为研究对象或者只以系统内某一部分为研究对象,均不能求出全部未知量。此时需选取多个研究对象，使建立的独立平衡方程数量与未知量相当。但研究对象选择不恰当，就会使受力分析复杂化，平衡力方程数目增多，从而增加解题的难度。平面一般力系有3个独立的平衡方程，可求解3个未知量，一般情况下，每次选取研究对象应使平衡方程中所含的未知量的数量不超过3个。 例3.5 组合梁所受荷载如图3.11(a)所示。已知F=20 kN,M=10 kN·m,q=15 kN/m,试求A、B支座及中间铰C处的约束反力。 图3.11 解 (1) 选取AC为研究对象，画出图3.11（b）所示的受力图，其中R′Cx与RCx，R′Cy与RCy为作用力与反作用力，列平衡方程得： ∑MA(F)=0,MA-q×2×22-M-R′Cy×4=0 MA=q×2×22+M+R′Cy×4=(15×2+10+10×4) kN·m=80 kN·m∑Y=0,RAy-q×2-R′Cy=0 RAy=q×2+R′Cy=(15×2+10) kN=40 kN (2) 选取CB为研究对象，画出受力图，如图3.11(c)所示，列平衡方程得： ∑X=0, RCx=0 ∑MC(F)=0,RB×2-F×1=0 RB=F2=202 kN=10 kN ∑MB(F)=0,-RCy×2+F×1=0 RCy=F2=202 kN=10 kN 3.1什么是力的投影？合力投影定理是如何表述的？ 3.2什么是力的平移定理？ 图3.12 3.3平面一般力系的简化中，选择的简化中心不同，主矢和主矩是否不同？简化结果是否不同？ 3.4平面一般力系平衡方程有哪些形式，各自有何限制条件？ 3.5计算图3.12所示各力在x轴与y轴上的投影，已知:F1=F2=100 kN,F3=F4=200 kN。 3.6如图3.13所示的拉环上作用有F1=60 kN,F2=100 kN,F3=120 kN三力。求F1，F2，F3的合力。 3.7如图3.14所示，塔吊起吊W=20 kN的构件，钢丝绳与水平面夹角α为45°，求构件匀速上升时钢丝绳AC与BC的拉力。 3.8计算图3.15中各梁的支座反力。梁的自重不计，F=30 kN,M=10 kN·m,q=20 kN/m。