游戏遇见数学:趣味与理性的微妙关系

第1部分数学游戏与抽象游戏 / 1 引言 / 1 生活中的谜题 / 7 第1章数学游戏：从欧拉到卢卡斯 / 11 欧拉与柯尼斯堡的桥 / 11 欧拉与马的游历问题 / 15 卢卡斯与数学游戏 / 20 卢卡斯单人对策游戏的数学计算 / 23 第2章四则抽象游戏 / 26 从杜德尼趣题到戈洛姆游戏 / 28 九子棋 / 30 六边形棋 / 32 国际象棋 / 36 围棋 / 42 第3章数学与游戏：神秘的联系 / 48 游戏和数学的分析都可以在大脑中进行…… / 49 你能“预见”吗？ / 51 一种新型对象 / 52 它们是抽象的 / 56 它们很难 / 57 规则 / 59 规则限定下的隐藏结构 / 60 论证与证明 / 61 确定性、谬误与真理 / 63 玩家也会犯错 / 65 推理、想象力和直觉 / 66 类比的力量 / 67 简单、优雅和美 / 68 一起探索科学与游戏 / 69 第4章为何国际象棋不是数学 / 70 竞争 / 70 问东问西 / 73 数学与游戏式数学 / 75 改变解题的观念 / 76 创造新概念与新对象 / 77 递增的抽象性 / 78 寻找共同结构 / 79 数学与科学的互动 / 80 第5章证明与查证 / 81 数学休闲游戏的局限性 / 82 抽象游戏与答案验证 / 83 如何“证明”11是素数？ / 84 “5是素数”，这是巧合吗？ / 85 证明vs.验证 / 86 结构、模式与表现形式 / 87 任意性与不可控性 / 88 边界附近 / 90 第2部分数学：游戏化的、科学的和感性的 / 95 引言 / 95 第6章游戏化的数学 / 98 引言 / 98 技巧和策略 / 100 立方和与其内在关联 / 103 欧拉的巨作 / 106 第7章欧几里得与其几何游戏规则 / 110 赛瓦定理 / 114 西蒙线 / 116 抛物线及其几何特性 / 117 丹德林球面 / 120 第8章新概念与新对象 / 122 创造“新对象” / 124 它是存在的吗？ / 126 不得不这么做 / 127 无穷与无穷级数 / 128 微积分与切线概念 / 131 抛物线的形状是什么？ / 134 第9章收敛级数与发散级数 / 137 先驱者 / 137 调和级数发散 / 140 奇异的对象和神秘的情景 / 142 发散级数的实际用途 / 145 第10章数学的游戏化 / 146 欧拉与多面体 / 147 群论的发明——发现 / 150 阿蒂亚麦克莱恩之争 / 153 数学与几何 / 155 第11章作为一门科学的数学 / 156 引言 / 156 三角几何：三角形的欧拉线 / 158 现代三角几何学 / 161 七圆定理与其他新的定理 / 165 第12章数字与数列 / 167 平方和 / 168 简单问题，容易答案 / 170 素数 / 171 素数对 / 173 猜想的局限性 / 174 波利亚猜想及其驳斥 / 176 数学实验的局限性 / 177 证明vs.直觉 / 181 第13章计算机与数学 / 184 霍夫施塔德的“好问题” / 186 计算机与数学证明 / 188 计算机与“证明” / 190 结语：公式复公式 / 192 第14章数学与科学 / 193 科学家的抽象 / 193 数学先于科学与技术 / 194 数学在科学中的成功应用 / 196 科学家如何应用数学？ / 198 纯数学与应用数学中的方法和技巧 / 200 积分：求曲线下面积 / 202 摆线 / 206 科学激励着数学的发展 / 210 第15章*短路径：优美的简洁性 / 213 似曾相识的智力题 / 213 赫伦定理的发展 / 217 极值问题 / 219 帕普斯与蜂巢 / 220 第16章基石：感知、想象和洞察 / 221 阿基米德引理与用“看”来证明 / 223 通过剖分进行证明的中国人 / 224 拿破仑定理 / 226 多角数 / 229 分拆问题 / 233 （再谈）发明还是发现？ / 236 第17章结构 / 237 毕达哥拉斯定理 / 239 欧几里得坐标几何学 / 244 中点问题 / 247 挠四边形 / 249 第18章隐藏结构，共同结构 / 252 素数与幸运数 / 252 面纱背后的数学对象 / 254 证明一致性 / 257 结构变换，视角转换 / 259 第19章数学与美 / 263 哈代论数学和国际象棋 / 265 经验与期望 / 267 国际象棋和数学：美与才华 / 268 美、类比与结构 / 269 感知中的美和个体差异 / 271 “博大派”vs.“精深派” / 273 美，形式与理解 / 275 第20章起源：日常生活中的形式 / 277 游戏的心理学意义 / 280 形式性的起和落 / 283 宗教仪式、游戏与数学 / 284 形式性与数学 / 286 隐藏的数学 / 288 风格与文化，以及数学风格 / 290 系统精神vs.问题解决 / 292 视觉vs.语言：几何vs.代数 / 294 女性、游戏与数学 / 296 数学与抽象游戏：内在的紧密联系 / 298