人类科学史三大经典(全3册)

《几何原本》 第1卷??平面几何基础 定 义 1.点：点不可以再分割。 2.线：线是无宽度的长度。 3.线的两端是点。 4.直线：直线是它上面的点一样地平铺的线。 5.面：面只有长度和宽度。 6.面的边是线。 7.平面：平面是它上面的线一样地平铺的面。 8.平面角：平面角是一个平面上的两条直线相交的倾斜度。 9.平角：当含有角的两条线成一条直线时，这个角称为平角。 10.直角与垂线：一条直线与另一条直线相交所形成的两相邻的角相等，这两个角均称为直角，其中一条是另一条的垂线。 11.钝角：当一个角大于直角时，该角为钝角。 12.锐角：当一个角小于直角时，该角为锐角。 13.边界：边界是物体的边缘。 14.图形：图形可以是一个边界，也可以是几个边界所围成的。 15.圆：圆是由一条线包围（称作圆周）的平面图形，该圆里特定的一点到线上所有点的距离相等。 16.圆心：上述特定的一点称为圆心。 17.直径：任意一条经过圆心、两端点在圆上的线段叫作圆的直径。每条直径都可以将圆平分成两半。 18.半圆：半圆是由一条直径和被直径所切割的圆弧组成的图形。半圆的圆心和原圆心相同。 19.直线形是由直线所围成的图形：三角形是由三条线围成的，四边形是由四条线围成的，多边形则是由四条以上的直线围成的。 20.在三角形中，若三条边相等，则称作等边三角形；若只有两条边相等，则称作等腰三角形；若三条边都不相等，则称作不等边三角形。 21.在三角形中，若有一个角是直角，该三角形是直角三角形；若有一个角为钝角，该三角形是钝角三角形；若三个角都是锐角，该三角形是锐角三角形。 22.在四边形中，若四个角都是直角且四条边相等，该四边形是正方形；若只有四个角为直角，四条边不相等，该四边形是矩形；若四边相等，角非直角，该四边形为菱形；若两组对边、两组对角分别相等，角非直角，边不全相等，该四边形是平行四边形；其他四边形是梯形。 23.平行线：在同一平面内，两条直线向两端无限延伸而无法相交，这两条直线是平行线。 公??设 公设1：过任意两点可以作一条直线。 公设2：一条有限直线可以继续延长。 公设3：以任意点为圆心，任意长为半径，可以画圆。 公设4：所有的直角都彼此相等。 公设5：同平面内一条直线和另外两条直线相交，若直线同侧的两个内角之和小于两直角和，则这两条直线经无限延长后，在这一侧相交。 公??理 公理1 ：等于同量的量彼此相等。 公理2 ：等量加等量，其和仍相等。 公理3 ：等量减等量，其差仍相等。 公理4 ：彼此能够重合的物体是全等的。 公理5： 整体大于部分。 命??题 命题1 在一个已知有限直线（即线段——译者注）上作一个等边三角形。 已知给定的线段是AB。 在线段AB上作等边三角形。 以A为圆心，并以AB为半径作圆BCD【公设3】；再以B 为圆心，并以BA为半径作圆ACE【公设3】；从两圆的交点C分别到A和B，连接CA和CB【公设1】。 因为点A是圆CDB的圆心，AC等于AB【定义1.15】。又，点B是圆CAE的圆心，BC等于BA【定义1.15】。但CA和CB都等于AB。而等于同量的量彼此相等【公理1】。所以，CA等于CB。因此，三条线段CA、AB和BC彼此相等。 因此，三角形ABC是等边的，且在给定线段AB上作出了这个三角形。这就是命题1的结论。 命题2 由一个已知点（作为端点）作一条线段等于已知线段。 设A为已知点，BC为已知线段。要求以A为端点，作长度与BC相等的线段。（由A点作一条线段等于已知线段BC。——译者注） 连接AB，得到直线AB【公设1】，在AB上作等边三角形DAB【命题1.1】。分别延长DA，DB成直线AE，BF【公设2】。以B为圆心，以BC为半径，作圆CGH【公设3】（点G是圆与直线DF的交点——译者注），再以D为圆心，以DG为半径，作圆GKL【公设3】。 因为B是圆CGH的圆心，所以BC等于BG【定义1.15】。同理，因为D是圆GKL的圆心，所以DL等于DG【定义1.15】。又DA等于DB。所以余量AL等于余量BG【公理3】。已证明BC等于BG，所以AL和BC都等于BG。又因为等于同量的量彼此相等【公理1】。所以，AL等于BC。 所以，以A为端点作出线段AL等于已知线段BC。这就是命题2的结论。 命题3 两条不相等的线段，在长的线段上可以截取一条线段使它等于另一条线段。 设线段AB和C是两条不相等的线段，且AB长于C。要求从AB上截取一条线段，使其等于线段C。 由A作AD等于线段C【命题1.2】，以A为圆心，以AD为半径画圆DEF【公设3】。 因为A 是圆DEF的圆心，所以AE等于AD【定义1.15】。又因为线段C等于AD，所以AE和C都等于AD。所以AE等于C【公理1】。 因此，两条已知不相等的线段AB和C，从AB上截取的线段AE等于线段C。这就是命题3的结论。 命题4 如果两个三角形中，一个的两边分别等于另一个的两边，且相等线段所夹的角相等，那么，它们的底边相等，两个三角形全等，且其余的角也分别等于相应的角，即等边所对的角。 设在三角形ABC和三角形DEF中，AB等于DE，AC等于DF，且角BAC等于角EDF。那么，就认为底边BC等于EF，三角形ABC全等于三角形DEF，并且这两个三角形中相等边所对的另外两个角也相等。（也就是）角ABC等于角DEF，角ACB等于角DFE。 如果把三角形ABC移动到三角形DEF上，若点A落在点D上，直线AB放在DE上，因为AB等于DE，所以点B和点E重合。又角BAC等于角EDF，线段AB与DE重合，所以AC与DF重合。又因为AC等于DF，所以点C与点F重合。点B已经确定与点E重合，所以底BC与底EF重合。如若B与E重合，C与F重合，底BC不与底EF重合，两条直线会围成一块有长有宽的区域，这是不可能的【公设1】。因此，底BC与底EF重合，且BC等于EF【公理4】。所以整个三角形ABC与整个三角形DEF重合，于是它们全等【公理4】。且其余的角也与其余的角重合，于是它们都相等【公理4】，即角ABC等于角DEF，角ACB等于角DFE【公理4】。 综上，如果两个三角形中，一个的两边分别等于另一个的两边，且相等线段所夹的角相等，那么，它们的底边相等，两个三角形全等，且其余的角也分别等于相应的角，即等边所对的角。这就是命题4的结论。