π的密码 关于圆的一切

**章 那些想知道， 却不好意思问的关于圆周率的知识 在世界上所有数字中，圆周率，即π的名气*大、研究成果*多、*经常被人们提到……但是对于圆周率的研究却一直没有结束。圆周率一般这样开始： 3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510…… 精确到圆周率小数点后50位的数字已经足够满足世界上几乎所有的计算，在物理学和数学中，需要用到圆周率小数点后10位以上小数的问题可以说是凤毛麟角。实际上，3.14或者3.1416这两个近似值已经完全可以满足*基本的运算。 艾萨克·阿西莫夫（Isaac Asimov）曾经总结说：“假如宇宙是球形的，直径为800亿光年，那么取圆周率小数点后的前35位来计算它的天球赤道，得数的误差不到百万分之一厘米。” 如果我们位于地球赤道上的一点，用与本书中字号相同的数字书写，那么现在的计算机所计算出的圆周率的展开值可以环绕地球500圈。圆周率的第17387594880位开始往后的10个数字正好是0123456789。虽然这个巧合非常有趣，但荷兰著名数学家L. E. J. 布劳威尔（L.E.J. Brouwer，1881—1966）认为研究这个序列出现的位置和频率没什么价值，因为人类永远不可能算出圆周率小数点后的所有位数。 到了21 世纪，人们找到了计算圆周率小数扩展值的一个实际用处，那就是用来测试巨型计算机的性能。目前，计算圆周率的小数点位数是*理想的测试计算机性能的方法。 方法重塑 当然，圆周率这个数字并非无中生有，它来自简单的观察，即一个圆的圆周（C）与它的直径（d）之间的比值是一个常数： C/d =π 或者，更常用的公式为： C = πd = π2r = 2πr 通过简单观察我们可以看到这种关系是一个固定的数，因为一个轮子的直径越大，每转一圈，轮子上定点所走过的距离也（成比例地）越长，因此： 圆周的长度/ 圆的直径= 常数≈ 3.14 或者用代数公式来表达，这里l 表示绕圆一周的距离，而r 表示它的半径（直径d 等于r 的两倍）： l = πd = π2r ≈ 2 × 3.14r 符号≈表示“约等于”，圆周率的历史就是探索3.14 后面数字的旅程。随着探索的深入，这个近似数的误差也越来越小。 数学家将大量的聪明才智用在尽可能准确地计算出圆周率上，他们坚持不懈，不断增加着小数点后的数字。曾经有一段时间，有人认为将来某一天这种努力一定会到达终点。然而到了1862 年，德国数学家费迪南·冯·林德曼（Ferdinand von Lindemann，1852—1939）给出了一个确定的答案，从而结束了这种长期的探索。这个答案大体上为：圆周率是由无限长的位数组成的，没有且永远不会有某种方法可以找出圆周率的“ 精确”值，本书中我们会试图解释其中的由。 起初，圆周率（π）本身并不为人所知。尽管威廉·奥格特（William Oughtred，1574—1660）、艾萨克·巴罗（Isaac Barrow，1630—1677）和戴维·格雷戈里（David Gregory，1659—1708） 等数学家使用这个字母，但直到威廉·琼斯（William Jones， 1675—1749）于1706 年在他的一本《新数学导论》（Synopsis Palmariorium Mathesios）中才用以下方式提到了这个常数。π 是希腊字母，是希腊文中“周长”一词的首字母，这个词在希腊语中写作“περι ρεια”。后来，伟人莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707—1783），*初使用‘c’和‘p’，后来也开始使用符号π，这个观念才逐渐确定地扩展开来。然而，在20 世纪的埃及，出于民族主义的原因，这个常数不用π 而是用阿拉伯字母ta 来表示。 今天，π 在数学中专门用来表示我们所说的这个数字，但这并不是这个字母的唯一用法。例如，π（x）用来表示自变量为自然数的函数，即“小于x 的素数的个数”。在数学中一些鲜为人知的研究中，π 也可以代表七格骨牌，如图中所示，它是由7 个连接在一起的正方形所组成的一种图形。 根据诸如爱因斯坦等专家的观点，常数π 在对宇宙的描述中是一个关键数字。通过在圆与非圆之间确立一种基本的关系，圆周率就像水面上的一个软木塞，时不时地出现在所有自然现象之中，这些自然现象受到了与曲线形状或者与旋转相关的一些规律的制约。和其他一些常数一样，我们的生活中处处有圆周率的身影。 有许多人，大多数都是数字命理学的狂热分子，他们看到任何地方都有圆周率，好像基于这个数字有一个阴谋理论。这个所谓的精细结构常数α 与电磁力有关，是这些圆周率崇拜者所钟爱的对象之一。甚至诺贝尔奖得主，量子物理学家沃纳·海森堡（Werner Heisenberg，1901—1976）一直猜测： 然而，海森堡并非独自一人，在整个物理学理论中，还有相似的近似值，例如： 这些理论公式涉及圆周率并且有很大价值。