包邮高等数学(第二版)(21世纪高等继续教育精品教材·公共课系列)

微积分是关于运动和变化的数学，哪里有运动与变化，哪里用到的数学必定就是微积分.微积分的诞生初期是这样，今天仍然还是这样.微积分首先是为了满足16、17世纪科学家对数学方面的需求，本质上说是为满足力学发展的需要而发明的.微分学所处理的是计算变化的问题，它使人们能够定义曲线的斜率，计算运动物体的速度和加速度，求得炮弹能达到其*大射程的发射角，预测何时行星靠得*近或离得*远.积分学所处理的是从函数变化率的信息确定函数自身的问题，它使人们能够从物体现在的位置和作用在物体上力的信息计算出该物体未来的位置，计算出平面上不规则区域的面积，度量曲线的长度，以及求出任意空间物体的体积和质量.现在，微积分及其在数学分析方面的延伸确实是意义深远.假如早年发明微积分的物理学家、数学家和天文学家能了解到微积分能够解决如此大量的问题，以及现在用来理解我们周围的宇宙和世界的数学模型所涉及的众多领域的话，他们肯定会感到十分欣慰.从古到今，整个数学的发展大体可分为五个时期：（1）公元前600年以前的数学萌芽时期；（2）公元前600年到17世纪中叶的初等数学时期；（3）17世纪中叶到19世纪20年代的变量时期；（4）19世纪20年代到第二次世界大战的近代数学时期；（5）20世纪40年代以来的现代数学时期.每一数学时期的发展，从来就是和生产实践、科学技术的水平密切相关的.首先，生产实践和科学技术向数学提出需要解决的问题，刺激数学向生产实践和科学技术发展的方向发展.其次，生产实践和科学技术向数学提供丰富的研究资料和物质条件，计算机技术的发展推动整个数学的发展就是*典型的案例.此外，生产实践和科学技术为检验数学结论的正确性提供了真理性的标准.因此数学的发生和发展归根到底是由生产实践决定的.同时数学发展到一定阶段，对于生产实践具有一定的相对独立性.本章将在复习中学教材中有关函数内容的基础上，进一步研究函数的性质，分析初等函数的结构.**节预备知识一、集合“集合”是现代数学中的一个重要的基本概念.集合是指具有某种特定性质的事物的全体.组成这一集合的事物称为该集合的元素.例1所有皮制火炬牌篮球构成一个集合，那么每一只皮制的且是火炬牌的篮球都是该集合的元素.例2所有正整数的全体构成一个集合，那么每一个正整数都是该集合的元素.通常，我们用英文大写字母如A，B，X，Y等表示集合，用英文小写字母如a，b，x，y等表示集合中的元素.如果a为集合A中的元素，则记作a∈A，读作a属于A或a在A中；如果a不是集合A中的元素，则记为aA，读作a不属于A或a不在A中.如果集合中所包含的元素的个数只有有限多个，则称这种集合为有限集.如果集合中所包含的元素的个数有无限多个，则称这种集合为无限集.不包含任何元素的集合称为空集，记为Φ.