近世代数(第三版)

第1章基本概念 本章中介绍的一些基本概念是数学各个分支的基础，也是学习本书后面各个代数体系的**知识. 1.1集合 集合是近代数学上*基本的概念之一，它指由一些事物所组成的一个整体. 集合通常用大写拉丁字母A，B，C， 表示.特别，粗体C表示复数集，粗体 R表示实数集，粗体Q表示有理数集，粗体Z表示整数集，粗体N表示自然数集，又C*表示非零复数集，R+表示正实数集，R-表示负实数集，2Z表示偶数集，其余类同. 组成一个集合的各个事物称为这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b，c， 表示.当a是集合A的元素时，称为a属于A，记作“a∈A”;当a不是集合A的元素时，称为a不属于A，记作“”或“”. 不含任何元素的集合称为空集，记作“”.由全部元素所组成的集合称为全集，记作“U”. 包含有限个元素的集合称为有限集，否则称为无限集.有限集A所包含的元素个数是一个非负整数，记作｜A｜.特别. 表示一个集合的方法通常有两种.一种是列举法，即列出它的所有元素，并且用一对花括号括起来.例如包含两个整数-1，3的集合S记作 S={-1，3}. 另一种是描述法，即用它的元素所具有的特性来刻画，例如 表示T是由方程的根所组成的集合.又如 表示有理数集Q，而 表示复数集C. 在本书中，有一些语句经常出现，为了简便，现引用一些逻辑符号予以表达.“对于任意a∈A”表示为“a∈A”，“存在一个a∈A”表示为“”，“存在唯一的a∈A”表示为“”.设P，Q是两个命题，“若P成立，则Q成立”表示为“”，“P成立当且仅当Q成立”表示为“”. 定义1.1设A，B是两个集合. (1) 若 则称A是B的子集，B是A的扩集，或A包含于B，B包含A，记作“”或“”.当A不是B的子集时，记作“”. (2) 若，且，而，则称A是B的真子集，记作“”或“”.例如，对于任何集合A，都有.又如. 空集是任何集合A的子集. 集合的包含关系具有下列性质: (1)自反性:对于任意的集合A，有; (2)传递性:若，则. 定义1.2设A，B是两个集合，若，且，则称A与B相等，记作“A=B”. 两个相等的集合包含相同的元素.例如上面列出的两个集合S与T相等. 设A是一个给定的集合，由A的全体子集所组成的集合称为A的幂集，记作2A.例如，设A={1，2，3}，则. 下面讨论集合的运算. 定义1.3设A，B是全集U的两个子集. (1) 由A或B中所有元素所组成的集合称为A与B的并，记作“A∪B”，即 A∪B={x｜x∈A 或 x∈B}. (2) 由A与B的所有公共元素所组成的集合称为A与B的交，记作“A∩B”，即 A∩B={x｜x∈A且x∈B}. (3) 在全集U中取出A的全部元素，余下的所有元素所组成的集合称为A的余，记作“A′”，即 特别 例1设U={x｜2≤ x≤ 10，x∈Z}，A={2，4，6，8}，B={2，3，5，7}，则 A∪B={2，3，4，5，6，7，8}，A∩B={2}， A′={3，5，7，9，10}，B′={4，6，8，9，10}. 集合的上述三种运算具有下列性质. 定理1.1设A，B，C是集合U的三个子集，则有 (1) 交换律: A∪B=B∪A，A∩B=B∩A; (2) 结合律: (A∪B)∪C=A∪(B∪C)， (A∩B)∩C=A∩(B∩C); (3) 分配律: A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)， A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C); (4) 模律: 若，则A∪(B∩C)=(A∪B)∩C; (5) 幂等律: A∪A=A，A∩A=A; (6) 吸收律: A∪(A∩B)=A∩(A∪B)=A; (7) 两极律: A∪U=U，A∩U=A， (8) 补余律: A∪A′=U，； (9) 对合律: (A′)′=A; (10) 对偶律: (A∪B)′=A′∩B′，(A∩B)′=A′∪B′. 证我们证明(4)作为例子，其余留给读者练习.