包邮广义积分论

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作者：张德利

出版社：科学出版社

本类榜单：自然科学

分类：自然科学 > 数学 > 微积分

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ISBN：9787030703019
装帧：一般胶版纸
册数：暂无
重量：暂无
开本：B5
页数：328
出版时间：2021-12-01
条形码：9787030703019 ; 978-7-03-070301-9

内容简介

模糊集、模糊数、非可加测度基础知识；单值非可加积分：包括Choquet积分、凹积分、Sugeno模糊积分、N模糊积分、拟积分、广义模糊积分、Universal积分、单调泛函，等；集值非可加积分与非可加测度：包括集值Sugeno模糊积分、集值Choquet积分；模糊值模糊积分：包括模糊值Sugeno模糊积分、模糊值Choquet积分；各种积分不等式：基于Sugeno模糊积分、拟积分的Jensen不等式，Minkowski不等式；非可加积分的应用：在决策领域、统计学习等

目录
《模糊数学与系统及其应用丛书》序
前言
第1章积分论大意 1
1.1 测度与可测函数 1
1.1.1 测度 1
1.1.2 可测函数 3
1.2 积分 4
1.2.1 定义、性质与收敛定理 4
1.2.2 Fubini 定理 6
1.2.3 Radon-Nikodym 定理 6
参考文献 6
第2章模糊集、模糊测度与可测函数 7
2.1 模糊集基础 7
2.2 模糊测度 9
2.2.1 定义与例子 9
2.2.2 模糊测度的结构特征 11
2.2.3 模糊测度序列 14
2.3 可测函数列 17
2.4 进展与注 19
参考文献 20
第3章模糊积分 21
3.1 Sugeno 模糊积分 21
3.1.1 定义 21
3.1.2 性质 22
3.1.3 收敛定理 24
3.1.4 转化定理，由积分定义的集函数 26
3.1.5 上、下 Sugeno 积分 26
3.2 (N) 模糊积分与半模模糊积分 27
3.2.1 (N) 模糊积分 27
3.2.2 半模模糊积分 29
3.3 广义半模模糊积分 31
3.3.1 定义与性质 32
3.3.2 收敛定理 35
3.3.3 模糊测度序列在广义半模模糊积分意义下的弱收敛 41
3.3.4 广义半模模糊积分的水平收敛定理 44
3.3.5 广义半模模糊积分的表示 46
3.3.6 由广义半模模糊积分定义的模糊测度 51
3.4 进展与注 52
参考文献 54
第4章 Choquet 积分 57
4.1 非负函数的 Choquet 积分 57
4.1.1 定义和性质 57
4.1.2 模糊测度的表示，共单调可加性 59
4.1.3 广义收敛定理及 Choquet 积分表示 64
4.1.4 Choquet 积分不等式 67
4.1.5 上、下 Choquet 积分 68
4.2 非对称 Choquet 积分 70
4.2.1 定义与性质 70
4.2.2 收敛定理 72
4.2.3 由 Choquet 积分定义的集函数 73
4.3 Fubini 定理 75
4.3.1 基于代数的 Fubini 定理 75
4.3.2 基于 σ-代数的 Fubini 定理 76
4.3.3 一般情形的乘积容度与 Fubini 定理 78
4.4 Choquet 积分——其他 80
4.4.1 对称 Choquet 积分 80
4.4.2 关于拟 Lebesgue 测度的 Choquet 积分 82
4.4.3 新 Choquet-like 积分 84
4.4.4 Choquet-Stieltjes 积分 86
4.4.5 非单调模糊测度空间及收敛 86
4.5 进展与注 89
参考文献 89
第5章拟积分与广义 Choquet 积分 93
5.1 Sugeno 与 Murofushi 的拟可加测度与积分 93
5.1.1 拟可加测度与积分的基本概念 93
5.1.2 拟可加积分的收敛定理 96
5.1.3 g-积分 101
5.1.4 Choquet-like 积分 106
5.2 σ-可加测度与拟积分 107
5.2.1 半环的基本概念 107
5.2.2 拟积分的定义 110
5.2.3 Fubini 定理 112
5.2.4 拟积分转化定理 116
5.2.5 拟积分的广义 Minkowski 不等式 117
5.2.6 拟积分的 Jensen 不等式 121
5.3 非负可测函数的拟积分的再定义 128
5.3.1 定义 128
5.3.2 性质 130
5.3.3 收敛定理 131
5.4 广义 Choquet 积分 134
5.4.1 半环值模糊测度 134
5.4.2 广义 Choquet 积分——一般情形 135
5.4.3 广义 Choquet 积分——情形 I—情形 III 136
5.4.4 广义 Choquet 积分的收敛定理 143
5.4.5 广义 Choquet 积分不等式 146
5.5 进展与注 148
参考文献 149
第6章格值广义模糊积分 152
6.1 格 L 上的广义三角模与 TS-L 广义模糊积分 152
6.1.1 格 L 上的广义三角模 152
6.1.2 TS-L 广义模糊积分 153
6.2 _S-L 广义模糊积分 159
6.2.1 常值函数 TS-L 广义模糊积分的讨论 159
6.2.2 ∨S-L 广义模糊积分 161
6.3 Rm+-值广义模糊积分 165
6.3.1 基本概念与定义 165
6.3.2 m 维广义模糊积分定理及收敛定理 166
6.4 进展与注 170
参考文献 171
第7章集值函数与模糊集值函数的积分 172
7.1 预备知识 172
7.1.1 Bochner 积分 172
7.1.2 集值函数 174
7.1.3 可积选择空间 177
7.2 集值函数的 Aumann 积分 180
7.2.1 定义 180
7.2.2 性质 181
7.3 P0(Rn) 值函数的 Aumann 积分 184
7.3.1 基本性质，收敛定理 184
7.3.2 Fubini 定理 185
7.3.3 Debreu 积分 186
7.4 集值测度 187
7.4.1 集值测度的定义与性质 187
7.4.2 集值测度的选择 188
7.4.3 Radon-Nikodym 定理 189
7.5 模糊集值函数的积分 191
7.5.1 n 维模糊数 191
7.5.2 一维模糊数 193
7.5.3 模糊集值函数 194
7.5.4 模糊集值函数的积分 195
7.5.5 模糊值积分的 Fubini 定理 199
7.5.6 模糊集值测度 200
7.6 Pk(R)-值与 Pk(R)-值积分的 Jensen 不等式 201
7.6.1 凸函数与经典 Jensen 不等式 201
7.6.2 集值函数与模糊集值函数积分的几个性质 201
7.6.3 集值 Jensen 不等式 203
7.6.4 模糊集值 Jensen 不等式 207
7.7 模糊数测度与积分 214
7.7.1 模糊数测度 214
7.7.2 模糊值函数关于模糊数测度的积分 215
7.7.3 Fubini 定理 219
7.7.4 Radon-Nikodym 定理 220
7.8 进展与注 221
参考文献 222
第8章集值函数与模糊集值函数的模糊积分 226
8.1 预备知识 226
8.2 集值函数的模糊积分 227
8.2.1 定义与性质 227
8.2.2 收敛定理 231
8.3 模糊集值函数的模糊积分 233
8.3.1 定义与性质 233
8.3.2 收敛定理 235
8.4 集值模糊测度与拟可加集值测度 237
8.4.1 定义与例子 237
8.4.2 集值模糊测度的一种构造方法 237
8.4.3 拟可加集值测度与 Radon-Nikodym 定理 238
8.5 集值函数的集值 Choquet 积分 239
8.5.1 定义与性质 239
8.5.2 收敛定理 242
8.6 模糊集值函数的 Choquet 积分 243
8.7 集值函数的实值 Choquet 积分 244
8.7.1 定义与性质 244
8.7.2 收敛定理 246
8.8 Choquet 积分的 Jensen 不等式 247
8.8.1 实值 Jensen 不等式 247
8.8.2 集值函数实值 Choquet 积分的 Jensen 不等式 251
8.8.3 集值 Choquet 积分的 Jensen 不等式 253
8.8.4 模糊集值 Choquet 积分的 Jensen 不等式 255
8.9 进展与注 256
参考文献 257
第9章模糊数模糊测度与模糊积分 259
9.1 预备知识 259
9.2 区间数模糊测度与模糊数模糊测度 262
9.3 模糊值函数关于模糊数模糊测度的模糊积分 264
9.3.1 区间值函数关于区间数模糊测度的模糊积分 264
9.3.2 模糊值函数关于模糊数模糊测度的模糊积分 267
9.4 模糊值函数关于模糊数模糊测度的广义模糊积分 272
9.4.1 区间值函数关于区间数模糊测度的广义模糊积分 272
9.4.2 模糊值函数关于模糊数模糊测度的广义模糊积分 273
9.5 模糊值函数关于模糊数模糊测度的广义 Choquet 积分 277
9.5.1 区间值函数关于区间值模糊测度的广义 Choquet 积分——一般情形 277
9.5.2 区间值函数关于区间值模糊测度的广义 Choquet 积分——半环情形 I—情形 III 278
9.5.3 模糊值函数关于模糊数模糊测度的广义 Choquet 积分——半环情形 I—情形 III 280
9.6 进展与注 282
参考文献 282
第10章广义模糊数 284
10.1 定义与基本定理 284
10.1.1 CH 广义模糊数 284
10.1.2 广义模糊数的再定义 285
10.2 广义模糊数空间: 序、运算、距离 290
10.2.1 h-广义模糊数 290
10.2.2 广义模糊数 292
10.3 广义模糊数序列 299
10.4 进展与注 303
参考文献 304
《模糊数学与系统及其应用丛书》已出版书目 309

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节选

第1章积分论大意本章将概要介绍经典积分论的内容，包括测度、可测函数、积分、重积分、Radon-Nikodym 定理等，这些是构建积分论的基本框架. 本章借鉴了文献 [3] 的**章，详细内容建议读者参看 [1]—[5] 等. 本书中，将用到以下的符号和约定: N 表示正整数集， Q 表示有理数集， R = ( 1，1) 表示实数集 (R+ 表示非负实数集)，称为广义实数 (非负) 集. 对于 1.1 测度与可测函数 1.1.1 测度记？为空集. 给定任一非空集合 X，称其所有子集构成的集合为 X 的幂集，记为 2X 或 P(X). 称非空集族为 σ-代数，若满足： (1) (2) (3) 显然，若 Σ 是 σ-代数，则其关于集合的并、交、差、补 (不超过可数次) 运算封闭. 称二元组 (X， Σ) 为可测空间. 定义 1.1.1 给定可测空间 (X， Σ). 若集函数 m : Σ → [0，1] 满足下列条件，则称为测度. (1) (2) (可列可加性) 其中特别地，若 m(X) = 1，则称 m 为概率，通常记为 P; 若 m(X) t) = {x ∈ X : f(x) > t} ∈ Σ; (2) 对 t ∈ R，均有 (f ≤ t) = {x ∈ X : f(x) ≤t} ∈ Σ; (3) 对 t ∈ R，均有 (f < t) = {x ∈ X : f(x) < t} ∈ Σ. 性质 1.1.9 函数 f : X → R 为可测的当且仅当下列条件之一成立： (1) 对任意开集 G R，均有; (2) 对任意闭集 F R，均有; (3) 对任意 Borel 集 B B(R)，均有. 定理 1.1.10 设 f， g 是可测函数，则均为可测函数. 定理 1.1.11 设 {fn} 是可测函数列，且 fn → f，则 f 是可测的. 定理 1.1.12 设 {fn} 是可测函数列，则是可测函数. 例 1.1.13 设 A ∈ Σ，定义 A 的特征函数为则 χA 是可测的. 例 1.1.14 设，其中，则 s 是可测的，且称为简单函数. 例 1.1.15 若函数 f : R → R 是连续的，则 f 是 B(R)-可测的. 给定 f : X → R，记则. 定理 1.1.16 函数 f 是可测的当且仅当 f-， f+ 是可测的. 定理 1.1.17 函数 f : X → R是可测的当且仅当存在简单函数列 {sn}，满足，且 sn → f.进一步： (1) 若 f 是有界的，则 sn → f 是一致的; (2) 若 f 是非负的，则 sn ↑ f. 证明只证 f 是非负的情形. 设，取函数，易知 sn ↑ f. 1.2 积分 1.2.1 定义、性质与收敛定理给定测度空间 (X，Σ，m). 定义 1.2.1 (1) 设是非负简单函数，则其积分为; (2) 设 f : X → [0，1] 是非负可测函数，则其积分为 (3) 设 f : X →[-∞， ∞] 是可测函数，则其积分定义为. 当时，称 f 在 A 上关于 m 可积; 当或 -∞时，称 f 在 X 上关于 m 积分存在. 通常符号简记为. 注 1.2.2 (1) 在概率空间 (X，Σ， P) 上，通常称可测函数 f 为随机变量，其积分通常称为均值，记为 E(f). (2) 关于 “几乎处处”(a.e.): 设在给定测度空间 (X，Σ，m) 上一个与 x ∈ A ∈ Σ有关的命题 P(x). 若存在 N ∈ Σ，使得 P(x) 在 A - N 上成立，且 P(N) = 0，则称 P(x) 在 A 上几乎处处成立，记为 P(x)m-a.e.(或 a.e.) 于 A. 基于此，我们有 “a.e. 有限， a.e. 相等， a.e. 收敛” 等概念. 性质 1.2.3 可积函数的积分具有下列性质：定理 1.2.4(单调递增收敛定理) 设 {fn} 是非负可测函数列，则推论 1.2.5(Fatou 引理) 设 {fn} 是非负可测函数列，则定理 1.2.6(控制收敛定理) 设 {fn} 是可测函数列，且 fn → f. 若存在非负可积函数 g，使得对任意 n ≥ 1，均有，则. 1.2.2 Fubini 定理设 (X，Σ， μ) 与 (Y， Γ， ν) 是 σ-有限测度空间. 令 Σ×Γ = σ({A×B : A ∈Σ，B ∈ Γ}) 且记 μ×ν 是其上的乘积测度，称 (X ×Y，Σ×Γ， μ×ν) 为乘积空间. 定理 1.2.7(Fubini 定理) 设 f : X×Y → [0，∞] 是可测函数，则 (1) fy(x) = f(x， y)， y ∈ Y， a.e. 是 Σ-可测函数; (2)是 Γ-可测函数; (3). (1)—(3) 中的 x 与 y 的地位是同等的. 由 Fubini 定理可以得到积分转化定理. 定理 1.2.8(积分转化定理) 设 f : X → [0， ∞] 是可测函数，则，这里 λ 是 Lebesgue 测度. 1.2.3 Radon-Nikodym 定理设 μ， ν 是 (X， Σ) 上的测度. 若 μ(A) = 0 ν(A) = 0，则称 ν 关于 μ 绝对连续，记为 ν＜＜μ. 定理 1.2.9(Radon-Nikodym 定理) 设 μ， ν 是 (X， Σ) 上的 σ-有限测度，则下列陈述等价： (1) ν＜＜μ; (2) 存在可测函数 f : X → [0， ∞]，使得，对一切 A ∈Σ 成立. 参考文献

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