脑与数学

数数：计算的基础 在生命*初的六七年，大量的计算法则应运而生。儿童重新发明了算术。他们会自发地，或通过模仿同龄人，想象出新的计算策略。他们还学会为每个问题选择*佳策略。他们的大部分策略都是基于数数（counting）的，无论是否使用语言或手指。在有人教他们学习计算之前，儿童仅靠自己就能发现这些策略。 这是否意味着数数是一种人脑与生俱来的能力？美国加州大学洛杉矶分校心理学系的罗切尔·戈尔曼和兰迪·加利斯特尔支持这个观点。他们认为，儿童天生就被赋予了无须学习的数数法则。譬如，不需要教给他们每个对象都必须数一次且只能数一次、数字单词必须按固定的顺序背诵，或者*后一个数字代表整个集合的基数。戈尔曼和加利斯特尔认为，这种数数知识是天生的，甚至先于并引导了数字词汇的习得。 很少有理论会像戈尔曼和加利斯特尔的理论这样引起激烈辩论。对于许多心理学家和教育学家来说，数数是一个模仿学习的典型例子。*初，它只是一个不涉及意义的死记硬背的行为。在卡伦·富森（Karen Fuson）看来，儿童*初把“12345……”（onetwothreefourfive……）当作一个没有间断的链条来背诵。后来他们才能学会将这个序列分隔成单个数字，把它延续到更大的数字，并将其应用到具体情况中。通过观察其他人数数，他们逐步推断出数数是怎么回事。根据富森的说法，数数*初只是鹦鹉学舌。 经过多年的争论和无数次的实验，真相逐渐被揭示，数数这种能力似乎介于“纯粹先天”和“纯粹后天”两个极端之间。数数的某些方面是发育早期就掌握的能力，而其他方面则需要学习和模仿才能习得。 以卡伦·温的实验为例，我们可以发现令人惊异的早期数数能力。两岁半的儿童可能很少有机会看到有人对声音或动作计数。然而，如果让他们观看《芝麻街》录像带，并且数大鸟跳跃的次数，他们很容易就能完成任务。同样，他们可以数各式各样的声音，如喇叭声、铃铛响、泼溅声、磁带里计算机的哔哔声，甚至看不见源头的声音。可见，不需要明确教学，儿童似乎很早就理解数数是一个抽象的过程，适用于各种视觉和听觉对象。 下面是另一种早期能力：早在3岁半的时候，儿童就知道，背诵数字的顺序至关重要，而以哪种顺序指向对象无关紧要，只要每个对象数一次并且只数一次。在一系列具有创新性的实验中，戈尔曼和同事们向儿童呈现了几种违反数数惯例的情境。结果表明，3岁半的儿童可以识别并纠正相当微小的数数错误。若有人背错了数字的顺序或漏数了一个对象，或者同一个对象数了两次，他们总是能注意到。*重要的是，他们能清楚地区分哪些是明显的错误，哪些是正确但不常见的数数方式。例如，他们发现，从一排对象的中间开始计数，或间隔地计数是完全可以接受的，只要*终所有物品都被数过一次且只数一次。更有趣的是，他们愿意从一排中任意一个对象开始数，他们甚至可以制定系统的策略，使某个预先指定的对象恰好排在第3位。 这些实验表明，在4岁之前，儿童已经掌握了数数的基本原则。然而他们并不满足于亦步亦趋地模仿别人，他们把数数推广到了新异的情境中。我们对这种早期能力的起源仍然知之甚少。儿童从哪里获得把数数的对象跟背诵的数词一一对应这个想法呢？跟戈尔曼和加利斯特尔一样，我相信这种才能属于人类的遗传禀赋。以一个固定的顺序背诵单词可能是人类语言能力自然而然的结果。至于一一对应原则，这在动物王国中实际上广泛存在。老鼠在迷宫中寻找食物的时候，会试图访问每个岔路一次且只一次，这是一种*大限度地减少搜索时间的理性行为。当我们在视野中寻找给定对象时，我们的注意力轮流转向每个对象。数数法则正处于人脑两种基本能力的交汇处——单词背诵和彻底搜索。这就是为什么我们的孩子很容易掌握它。 虽然儿童迅速掌握了如何数数，然而他们似乎一开始就不在乎为什么要去数。作为成年人，我们知道数数用来干什么。对我们来说，数数是一个具有明确目的性的行为：列举一组物品。我们也知道，真正重要的是*后一个数字，它代表了整个集合的基数。儿童也懂这些吗？还是说他们只是把数数当成一种游戏，在这个游戏中每指向一个不同的物品就读一个有趣的单词？ 卡伦·温认为，只有在快满4周岁时，儿童才可能领会数数的意义。如果你让3岁的小女儿数她的玩具，然后问她：“你有多少玩具？”她很可能会给出一个随机数，并不一定是她刚刚数出来的数字。和这个年龄段的所有儿童一样，她似乎并没有把“多少”这个问题与她先前的数数行为联系起来。她甚至可能把所有东西再数一次，好像数数行为本身就足以回答“多少”这个问题。同样，要求一个两岁半的小男孩给你3个玩具。他很可能会随机挑选几个，即使他已经可以数到5或者10。在这个年纪，虽然数数的机制已经就绪，但儿童似乎并不明白数数到底有什么用途，当问题情境需要通过数数解决时，他们并不会想到数数。 到4岁左右，儿童才*终明白了数数的意义。但他们是如何明白的呢？数量的前语言表征能力可能在这一过程中起着至关重要的作用。儿童从出生开始，早在他们开始数数前，就已经拥有一个能够告诉他们周围事物大概数量的心理累加器。这个累加器有助于赋予数数意义。假设一个儿童在玩2个布娃娃，他的累加器会自动激活数量2的大脑表征。我们在前面的章节中描述过，他已经学会了数词2适用于这个数量，因此在不需要数数的情况下他也可以说“2个娃娃”。现在假设，没有特别的原因，他决定和布娃娃“玩数数游戏”，在背诵单词“1、2”时他惊奇地发现，数数的*后一个数字2正是可以用于表示全体数量的那个词。经历过10次或20次这样的场合，他可能会很有把握地推断，数数时的*后一个数具有特殊的地位：它代表了一个与内在累加器提供的数量相匹配的数量。数数，原本只是一个有趣的文字游戏，现在突然有了一个特殊的意义：数数是回答“多少”这个问题*好的方法！