哈代空间中Beurling不变子空间理论及其应用

第1章绪论 调和分析理论的起源可追溯到欧拉、傅里叶等著名数学家的研究，20世纪后，调和分析理论得到了更加深入的发展，Hardy-Littlewood极大算子与Littlewood-Paley理论成为近代调和分析理论的重要内容.20世纪50年代奇异积分理论的产生，20世纪70年代哈代空间的实变理论的形成都为近代调和分析理论的发展注入了新的活力.经过不断深入的发展，调和分析的理论和方法渗透到了众多数学分支，成为数学的核心研究内容之一. 作为调和分析理论的重要内容，哈代空间H2(D)是单位圆盘D上满足平方和可积的所有解析函数f组成的空间，由英国数学家Hardy[1]于1915年在经典复分析中首次引入.哈代空间理论在基础数学和应用数学的很多方面起着核心作用，如系统理论、控制理论、信号和图像处理等方面.随后，哈代空间理论的研究工作突飞猛进，在发展过程中，一个重要的特点是哈代空间理论向众多数学分支渗透并与之结合形成许多新的分支.例如，哈代空间上的鞅论，正是概率论、泛函分析与调和分析的结合，Burkholder、Gundy、Davis等国际著名学者对此做出了杰出的贡献，可参考文献[2]～[13].随着研究的深入，经典哈代空间中的算子理论发展到了多圆盘函数空间、多变量函数空间等方面，我国学者在该领域的研究处于国际领先水平，以著名学者谷超豪、孙顺华为代表的数学家在希尔伯特模、Hp空间、Bergmann空间、Toeplitz算子、复合算子等方面取得了令人瞩目的研究成果(详细内容见文献[14]～[29]). 此外，经典哈代空间与von Neumann代数结合，形成量子数学中的非交换哈代空间理论，经典哈代空间中的结论延伸到非交换情形，研究内容涉及算子代数、非交换几何、K理论和数学物理等学科.1967年，Arveson引入了一般von Neumann代数中非交换解析模型的次对角代数的概念，次对角代数可以看做是非交换的H∞空间[30].随后，数学家将von Neumann代数的研究思想和方法应用于算子代数的解析理论研究，以非交换的H∞空间为解析代数模型，在Haagerup[31]的非交换Lp空间基础上建立非交换Hp空间.经过近50年的努力，非交换哈代空间这一研究课题取得了丰富的成果，包括非交换Hp空间的刻画、非交换Hp空间中“内函数”(inner functions)和“外函数”(outer functions)的特征、非交换内外型分解、非交换Szeg.定理等(参考文献[32]～[45]).这些理论的发展极大地推动了von Neumann代数上解析算子代数的结构研究，因而成为非交换算子空间研究的一个中心问题. 函数空间上的算子理论是联系函数论与算子理论的纽带与桥梁，是泛函分析的重要组成部分之一.20世纪30年代，Murray和von Neumann创立算子代数理论后，函数空间上的算子理论得到了迅速发展，形成了一批经久不衰的研究课题[46.47].不变子空间问题是算子理论中一个著名的公开问题，即在可分巴拿赫(Banach)空间上，是否每个有界线性算子都存在非平凡的不变子空间？对于有限维空间X上的线性变换A，根据约当块理论，可以把X分解成A的不变子空间的直和，A限制在每一块上只有一个特征值，而在每一块上算子的结构特别简单，就是它的约当块.在无限维巴拿赫空间上，一个基本问题是研究算子的不变子空间结构，主要是因为人们总希望从整个空间中划分出某些不变子空间，使得算子在这些子空间上的结构比较简单，谱相对集中，从而获得算子的信息.1984年，Read举例说明有无限维巴拿赫空间及其上一个有界线性算子不存在一个非平凡的闭不变子空间.因此，人们的目的自然转向无限维希尔伯特空间上有界线性算子是否有非平凡的闭不变子空间?当该空间H是不可分时，每个有界算子A有非平凡闭不变子空间.这是因为如果取x∈H，且x60，那么span{x，Ax，A2=x， }是A的一个不变子空间.因为该子空间是可分的，所以它是A的非平凡闭不变子空间.因此，著名的不变子空间问题如下: 不变子空间问题.可分的无限维希尔伯特空间上有界线性算子是否有非平凡闭不变子空间? 经过众多学者的努力，不变子空间问题有许多进展.然而到目前为止，不变子空间问题还没有完全解决.在不变子空间方面，一个里程碑式的工作是苏联数学家Lomonosov解决了紧算子不变子空间问题，证明了紧算子总有非平凡的闭不变子空间.事实上，他得到了如下著名的结论(见文献[48]). Lomonosov定理.假设B不是恒等算子的常数倍，并且它与一个非零紧算子交换.如果A与B交换，那么A有非平凡的闭不变子空间.特别地，每个紧算子有非平凡的闭不变子空间.目前，刻画某些特殊算子类的不变子空间仍然是一个活跃的课题.1949年，瑞典数学家Beurling[49]利用复分析的方法给出了哈代空间中单侧移位算子不变子空间的完全刻画，现在被称为“Beurling定理”的结论被认为是无限维空间中不变子空间问题的*早成果.1960年，Helson等[50]对Beurling定理的结论做了推广，给出了哈代空间中双边移位算子不变子空间的刻画.自此，众多领域学者对算子论与算子代数中Beurling定理做了一系列极其深刻的研究工作，且取得了丰硕的成果.例如，Hitt[51]研究了圆环上哈代空间的Beurling定理，并引入了哈代空间中近似不变子空间的概念;Aleman等[52]证明了Bergman空间中的Beurling型定理;Blecher等[53]证明了非交换Lp空间中的Beurling定理;Rezaei等[54] 讨论了向量值哈代空间的不变子空间的Beurling定理.更多关于Beurling定理的成果可参考文献[55]～[84]. 酉不变范数(unitarily invariant norm)的概念是由 von Neumann提出的，其目的是度量矩阵空间 [85] .两类常见的酉不变范数是矩阵的 Lp范数： 和 Ky Fan范数： 式中，A为n×n复矩阵，|A|=(A.A)1/2表示矩阵A的绝对值算子.目前，这类范数被广泛应用到许多领域，如函数空间、群表示论和量子信息等领域. 2008年，美国学者Hadwin与他的合作者在已有的非交换Lp空间模型基础上，讨论将酉不变范数与von Neumann代数结合，研究非交换广义Lp空间，为非交换积分空间的研究开辟了一种新方向[86.88].因为Hadwin教授在文献[86]中已说明酉不变范数在交换情形下与规范gauge范数存在一一对应，所以将经典的H∞空间与包含常规Lp范数的规范gauge范数(α范数)结合，建立广义哈代空间，并研究广义哈代空间中的Beurling不变子空间定理，将是一个非常有意义的课题. 受此工作启发，本书围绕如下4个问题展开: 问题1.如何利用酉不变范数的等价范数(规范gauge范数)，建立广义勒贝格空间与广义哈代空间理论? 在本书第4章与第5章的内容中，作者利用新的规范gauge范数(α范数)代替常规的Lp范数，建立更广泛意义下的勒贝格空间与哈代空间，完善并丰富关于规范gauge范数下的广义哈代空间理论.同时，也拓宽了函数空间领域的应用前景.例如，可以考虑将更一般的Orlicz范数、Lorentz范数、Marcinkiewicz范数、Ky Fan范数与经典哈代空间结合，研究Orlicz空间、 Lorentz空间等，这将为经典勒贝格空间与经典哈代空间的研究带来新意，从而为研究非交换勒贝格空间与非交换哈代空间提供新的视野. 问题 2.在新的广义勒贝格空间与广义哈代空间中 ， Beurling不变子空间定理是否成立? Beurling-Helson-Lowdenslager (BHL)不变子空间定理是哈代空间H2中的一个重要定理.本书的第6章在更加广泛的广义勒贝格空间中 ，建立了更一般的