包邮交换代数导论

第1章环与理想 环与理想理论是学习交换代数的首要基础.在本章之中，我们将简单回顾和介绍环与理想的一些基本概念和重要结论. 1.1环与子环 定义1.1.1令R是有两个运算“+， ”(加法、乘法）的集合，如果它满足： (1){R;+}是交换群， (2)乘法运算“ ”适合结合律，即， (3)乘法对加法适合分配律，即对于，有a (b+c)=a b+a c和(b+c) a=b a+c a，则称代数体系{R;+， }是环，简称R是环. 习惯上，直接用0表示环R中加法群的单位元素，并用-a表示元素a关于加法群的逆兀素，即a+0=0+a=a，a-a=0，aeR.也直接用ab表示乘法a b. 进一步，如果环R还满足：则称R是交换环.如果环R中存在关于乘法运算的单位元素e，即，则称R是有1的环.习惯上，直接用1表示关于乘法运算的单位元素. 也可以将有1的环定义成，使其存在的单位元素e满足.容易验证，这样的两种定义方式是一样的. 事实上，若令满足，满足，则 注意，在环的定义中并没有说.但是，如果在环R中有1=0，则 即环R中只有一个元素0——零环.所以，如果没有特别说明的话，以后我们所说的环都指的是非零环，即在环R中有.另外，如果没有特别说明的话，以后我们所指的环都要求是有1的、交换的、非零环. 实际上，如果环a是没有i的环，那么我们很容易将其嵌入一个有i的环之中.例如，利用环R和整数Z，可以先构造一个集合，然后规定其中的运算为 那么，易见集合RxZ在这样规定的运算之下构成一个环，并且其中1为（0，1).当然，其间的嵌入映射为 令R是一个环，则易知环的运算满足下面的一些简单性质： (1) (2) (3) 在此，我们仅考证结果（1). 事实上，因为0a=(0十0)a=0a十0a，所以0a=0. 例1.1.1我们熟知的整数Z在通常的加法和乘法运算之下就是一个环.另外，如有理数集Q、实数集R和复数集C等在通常的加法和乘法运算之下也都是环. 再有，这些环上的多项式， Q[x]，R[x]和C[x]等也均是环. 一般地，若令R是一个环，$GR是一未定元，则可以构作一个集合. 并规定相等的充分必要条件是它们对应项的系数全相等，即若令， 进一步，在集合中我们就按熟知的方式，定义“加法、乘法”，即 则容易验证，构成一个环，我们将其称之为环R上的多项式环.将此方法自然拓展，可以定义n元多项式环. 类似地，若令R是一个环，xiR是一未定元，则可以定义一个形式幂级数集 合并且，规定相等的充分必要条件是它们对应项的系数全相等，即 然后，在R[[x]]中按如下方式定义加法和乘法： 则容易验证，(R[[x]];十，.)构成环，我们称其为环R上的形式幂级数环. 例1.1.2令R是一个环，则其上的n阶矩阵集合 在通常的矩阵加法和乘法运算之下构成一个环一一n阶矩阵环（非交换环).其上的零元素（加法单位元）和1(乘法单位元)，分别为 例1.1.3令Zn是模n的剩余类集合，则容易验证，{Zn;+，.}是一个环一一模n的剩余类环. 定义1.1.2令R是一个环，S是环R的子集合.如果集合S在环R的运算之下构成环，则称S是R的子环，并记其为. 显然，环R存在两个自然的子环{0}和R.我们称这两个子环是平凡的.以后，如果没有特别的说明，我们所说的子环都要求是非平凡的子环. 例1.1.4显然.如果R是一个环，则. 例1.1.5令下三角矩阵集合为则容易验证，在矩阵的加法和乘法运算下． 类似地，有上三角矩阵子环 定理1.1.1令R是一个环，S是环R的子集合，则S是子环的充分必要条 件是它满足： (1) (2) (3) (4) 证明　利用子环的定义即可.口 不难看出，如果都是环R的子环，则也是环R的子环.但是不一定是子环.例如，R[x]，R[y]都是R[x，y]的子环，但是，对于，却显然有，所以不是的子环. 例1.1.6令Z，则Z[i]当然是复数集C的子集合.另外，容易验证它适合定理1.1.1，所以Z[i]是复数集C的子环——Gauss型环. 例1.1.7令SCR是一个子环，则易知是环R的一个子环（请与例1.1.1比较一下).类似地，如果M是环R的子集合，我们称S[M]是由子环S和集合M生成的子环.容易证明 而且，我们有其中，是所有包含子环S和集合T的子环. 事实上，显然有.另外一方面，S[T]本身就是一个子环，所以当然 这就是说，S[T]是包含子环S和集合T的*小的环R的子环. 1.2同态与理想 定义1.2.1令是环，如果存在一个映射中，并且该映射保持环中运算，即 其中是环R的1，化是环的1，则称映射是环，之间的同态.如果，之间存在同态，则称环与同态，记为. 特别地，若同态映射是满射、单射和双射，则称环与为满同态、单同态和同构.如果环与同构，则将其记为. 例1.2.1令R是环，则易知映射是环的满同态. 实际上，通常的取值映射就是一个环同态，其中. 例1.2.2令R是环，则易知映射是环的单同态. 类似地，映射也是环的单同态. 例1.2.3令映射为则容易验证，这个映射是整数环Z和剩余类环Zn之间的满同态. 例1.2.4令R是环，则映射 是环同态.进一步，从整数环Z至任意环R的同态一定具有上面的形式，即Z至环R的同态是唯*的. 事实上，若中:是环同态，则中，所以 定义1.2.2令I是环R的关于加法运算的子群，如果对于任意，有，则称I是环R的左（右）理想.如果I既是左理想，又是右理想，则称I是环R的理想. 显然，若R是交换环，则其左（右）理想都是理想. 例1.2.2令R是整数环Z，则在矩阵环(非交换）中，就是一个左理想，但不是右理想. 显然，对于环R存在两个当然的理想，我们称这两个理想是平凡的.一般地，以后如果没有特别的说明，我们所说的理想均指的是非平凡的.再有，如果R是一个交换环，并且，则容易验证