函数逼近论方法

**章 预备知识 §1.1 行列式 由n2个元素组成的n阶行列式定义为 其中为自然数的一个排列为这个排列的一个逆序数，为对所有所示项求和.行列式中的数称为它的元素，有时候简记或.排列在行列式中的数，横向称为行，纵向称为列. 行列式有下面的性质： （1）在D中将行改作列，记为DT——称为D的转置行列式，则DT=D. （2）任意两行（列）互换，行列式变号. （3）用数a遍乘某行（列），等于将行列式乘以a. （4）用a遍乘某行（列）然后加到另一行（列），则行列式的值不变. （5）若行列式中有一行（列）全为零，则行列式的值等于零;若有两行（列）成比例，则行列式的值等于零;若有一行（列）为其他行（列）的线性组合，则行列式的值等于零. （6）若行列式中的某一行（列）的每个元素均可表示为两项之和，则该行列式可表示为两个行列式之和，例如 （7）为阶方阵，为相应的行列式，则.其中方阵的定义及运算见§1.2. 在n阶行列式D中选取第行与第列（10，存在N>0，使得当时，距离空间E称为是完备的，如果每个本来收敛列都收敛于E中的一点. 距离空间E称为可分的，如果存在一个可数点集，使得对于每一点都有中的一个子列，使. §1.5 线性赋范空间 设E是某些元素组成的集合，K是实（复）数域，如果下列条件i），ii）成立，则称E是K上的一个线性空间： （i）E是一个加法群，即在内定义一种运算，叫做加法，满足 （a）如，则; （b）（交换律）； （c）（结合律）; （d）在E内有一个零元素0，对任何有x+0=x; （e）任何，存在逆，使x+（-x）=0. （ii）对任何，定义了数乘，使且满足 （a）; （b）; （c）; （d）. 设E是数域K上的线性空间，对于E中的每个元素定义一个非负实数，满足下面三条： （i）; （ii）（三角不等式）； （iii）. 则称E为K上的线性赋范空间，称为2的范数.以上三条称为范数三公理. 按定义，对于易验证，满足距离三公理，于是线性赋范空间属于距离空间. §1.4所介绍的三个空间是线性赋范空间，即 （1）n维欧氏空间，范数 （2）连续数空间，范数 （3）设在[a，b]上有务阶连续的导数，则所有的集合记作，它也是一个线性赋范空间，范数与的定义相同.我们把看作是k=0的特殊情况.特别地，如果在上有任意阶导数，则记为. （4）空间，范数 §1.6 Hilbert空间 设E为数域K（实或复）上的线性空间，对E内任两点x，定义K内的一个数，满足下面四个条件： （i）; （ii）; （iii）. 其中a表的共轭复数，如K为实数域，则. （iv）当且仅当x=0，则称E是一个内积空间，（u）称为u的内积，以上四条称为内积四公理. 在内积空间中定义范数，则它是一个线性赋范空间. 完备的、可分的复（实）内积空间称为复（实）Hilbert空间，简称H空间.常见的H空间有： （1）空间.对，定义 （2）空间，所有满足的点的集合.对于 假定有一列数，相邻两数值的一级差分定义为.类似地，二级差分定义为。一般地，级差分定义为.记. 定理1.7.1 有 证 当w=0时显然成立.假定对于自然数n成立，则以n+1代替n得