高等微积分

目录
前言
第1章 点列极限与实数理论 1
1.1 数列极限与Stolz定理 1
1.1.1 数列极限 1
1.1.2 无穷大量 4
1.1.3 Stolz定理 7
1.2 实数系的基本定理 10
1.2.1 单调有界定理 12
1.2.2 闭区间套定理 15
1.2.3 归并原理与Bolzano-Weierstrass定理 17
1.2.4 Cauchy收敛原理 20
1.2.5 确界存在定理 22
1.2.6 有限覆盖定理 25
1.2.7 实数系基本定理的等价性 26
1.3 上极限与下极限 27
1.3.1 数列的上极限与下极限 27
1.3.2 上极限与下极限的运算 30
1.3.3 上极限与下极限的应用 34
1.4 Rd中点列的极限及基本定理 36
1.4.1 Rd中的一些常用概念 36
1.4.2 Rd中点列的极限 38
1.4.3 Rd中的基本定理 39
1.5 压缩映射原理 44
1.5.1 一元函数的压缩映射原理 45
1.5.2 多元向量值函数的压缩映射原理 48
习题1 50
第2章 函数极限与连续函数 55
2.1 一元函数的极限与连续 55
2.1.1 函数极限的定义与Heine-Borel定理 55
2.1.2 函数极限的Cauchy收敛原理 57
2.1.3 连续函数 60
2.1.4 一致连续 63
2.2 闭区间上连续函数的性质 66
2.3 指数函数、对数函数、幂函数 75
2.3.1 指数函数 76
2.3.2 对数函数 80
2.3.3 幂函数 81
2.4 有界变差函数简介 82
2.5 混沌初步 90
2.6 多元函数的极限与连续 95
2.6.1 多元函数的极限 95
2.6.2 多元连续函数 98
2.6.3 紧集上的多元连续函数的性质 102
2.6.4 二元凸函数的连续性 106
2.6.5 向量值函数的极限与连续 107
习题2 108
第3章 微分学 112
3.1 一元函数导函数的性质 112
3.1.1 导数的定义 112
3.1.2 导数极限定理 114
3.1.3 导函数中间值性质 115
3.1.4 导数的逼近 118
3.2 一元函数的Taylor公式及其应用 119
3.2.1 一元函数的Taylor公式 120
3.2.2 一元函数的Taylor公式在理论分析中的应用 122
3.2.3 一元函数的Taylor公式在近似计算中的应用 126
3.3 多元函数的偏导数与Taylor公式 128
3.3.1 偏导数及其性质 129
3.3.2 多元函数的Taylor公式及其应用 133
3.3.3 多元函数向量值函数的微分学 136
3.4 隐函数定理 140
3.4.1 一个方程所确定的隐函数 140
3.4.2 方程组所确定的隐函数组 147
3.5 条件极值 151
习题3 160
第4章 积分学 164
4.1 定积分 164
4.1.1 Riemann积分的定义及其性质 164
4.1.2 Darboux和及其性质 166
4.1.3 Riemann可积的条件 169
4.1.4 Newton-Leibniz公式 172
4.1.5 积分中值定理 177
4.2 重积分 183
4.2.1 平面点集的面积 183
4.2.2 二重积分的定义与存在性 187
4.2.3 二重积分的计算 188
4.3 曲线积分与曲面积分 193
4.3.1 曲线积分 193
4.3.2 曲面的面积 198
4.3.3 曲面积分 202
4.3.4 Green公式、Gauss公式、Stokes公式 206
4.4 反常积分 211
4.4.1 无界区间上的反常积分 211
4.4.2 无界函数的瑕积分 217
4.4.3 反常积分的Cauchy主值 220
4.4.4 反常重积分 222
4.5 含参变量的定积分 227
4.6 含参变量的反常积分 233
4.6.1 含参变量反常积分一致收敛的定义 233
4.6.2 含参变量反常积分一致收敛的判别 235
4.6.3 含参变量反常积分一致收敛的性质 242
4.6.4Γ函数与Beta函数 251
4.7 变分学初步 255
4.7.1 一元函数情形 255
4.7.2 多元函数情形 260
习题4 263
第5章 级数理论 271
5.1 数项级数 271
5.1.1 正项级数敛散性的判别 272
5.1.2 一般项级数敛散性的判别 277
5.1.3 加法结合律 281
5.1.4 加法交换律 283
5.1.5 级数的乘法 286
5.2 函数列与函数项级数 289
5.2.1 函数列一致收敛的定义及其性质 289
5.2.2 函数项级数一致收敛的定义及判别法 296
5.2.3 函数项级数和函数的分析性质 300
5.3 幂级数 303
5.3.1 幂级数的和函数的基本性质 304
5.3.2 Taylor级数与函数的幂级数展开 310
5.3.3 复值幂级数与Euler公式 314
5.4 Fourier分析初步 315
5.4.1 Dirichlet积分 316
5.4.2 Fourier级数的收敛判别法 319
5.4.3 Fourier级数的积分与求导 325
5.4.4 Fourier级数的逼近性质 328
5.4.5 Fourier变换和Fourier积分 331
习题5 342
第6章 常微分方程 347
6.1 解的存在与延拓、比较定理 347
6.1.1 解的存在和唯一性定理 347
6.1.2 解的延拓 352
6.1.3 比较定理 355
6.2 线性微分方程组 357
6.2.1 齐次线性微分方程组 357
6.2.2 非齐次线性微分方程组 360
6.2.3 常系数齐次线性微分方程组的求解 363
6.3 稳定性理论初步 370
6.3.1 Lyapunov稳定性 371
6.3.2 按线性近似决定稳定性 374
习题6 377
参考答案与提示 380
参考文献 396
索引 397