包邮线性代数(第二版)

第1章矩阵 线性代数主要处理与数量的线性关系相关的问题，和其他数学课程一样，线性代数有两类基本的数学构件:一类是对象、数据;一类是这些对象进行的运算.本章就是讨论*简单的由数形成的矩形数表||矩阵及其运算.矩阵是线性代数的一个*基本的概念.矩阵的运算是线性代数的基本内容.在数学科学、自然科学、工程技术与生产实践中，有许多问题都可以归结为矩阵的运算，进而用矩阵的理论来处理. 本章首先介绍矩阵的概念，然后介绍矩阵的线性运算、乘法、转置、可逆矩阵、矩阵的初等变换、分块矩阵以及方阵的行列式和矩阵的秩. 1.1矩阵的基本概念 1.1.1矩阵的概念 在现实生活中，人们往往不仅需要使用单个的数，而且还要处理成批的数.这就需要把数的概念推广到矩阵. .qy定义1.1由m×n个数aij(i=1;2; ;m;j=1;2; ;n)按一定的次序排成m行n列的表 称为一个m行n列的矩阵.横的每排叫做矩阵的行，纵的每排叫做矩阵的列.aij叫做矩阵A的第i行，第j列的元素.i和j分别叫做aij的行指标和列指标.矩阵A又可记作(aij)，(aij)m×n或Am×n.通常用大写的英文字母A;B;C; 来表示矩阵. 例如变量x1;x2与y1;y2;y3的关系式中的系数就构成一个矩阵 元素都是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵.本书中的矩阵除特别说明外，都是实矩阵. 当一个矩阵的行数与列数都是n时，称该矩阵为n阶方阵或n阶矩阵.在n阶矩阵A中，元素aii(i=1;2; ;n)排成的对角线称为方阵的主对角线. 一个m行1列的矩阵 称为一个列矩阵或列向量.我们常用希腊字母α，β，γ， 表示列向量. 类似地，一个1行n列的矩阵 A1×n=(a11 a1n); 称为一个行矩阵或行向量.为了醒目起见，我们通常在行向量的元素之间加上逗号，即A1×n=(a11; ;a1n). 特别地，一个1×1的矩阵(a11)就是一个数，此时可以将括号去掉，直接记成a11.这就是说，数可看成矩阵的特例. 1.1.2几种特殊矩阵 在利用矩阵解决问题时，经常遇到下面几种特殊矩阵. 零矩阵:若一个矩阵的所有元素均为零，则这个矩阵称为零矩阵，记为O. 对角矩阵:若一个n阶矩阵除主对角线上的元素之外，其余元素全部为零，则称此矩阵为对角矩阵，通常用¤表示，即 这里非主对角线上的元素0可以省略不写，或记为Λ=diag(a11;a22; ;ann). 数量矩阵:若对角矩阵¤的主对角线上的元素为同一个数a，即a11=a22= =ann=a，则称此矩阵为数量矩阵.？ 单位矩阵:若n阶数量矩阵的主对角线上的元素为1，则此矩阵称为单位矩阵，记为E或En，即 三角矩阵:若一个方阵的主对角线下(上)面的元素全为零，则此矩阵称为上(下)三角矩阵.上、下三角矩阵统称为三角矩阵. 行阶梯形矩阵:若一个矩阵A=(aij)m×n中的某一行元素全为零，则称这一行为一个零行，否则称之为一个非零行.非零行的**个非零元素称为非零首元.若A的各非零行的非零首元的列指标随着行指标的增大而严格增大，并且零行(如果有的话)均在所有非零行的下方，则此矩阵称为行阶梯形矩阵.例如 行*简形矩阵:若一个行阶梯形矩阵的每个非零行的非零首元均为1，并且此非零首元所在列的其余元素均为零，则此矩阵称为行*简形矩阵.例如 是行*简形矩阵. 1.2矩阵的基本运算 我们知道，数有加、减、乘、除四则运算.那么矩阵有相应的运算吗?本节首先把数的加法、减法和乘法推广到矩阵，得到矩阵的加法，减法，数乘和乘法，然后再介绍矩阵的转置. 1.2.1矩阵的线性运算 两个矩阵的行数和列数都相等时，称它们是同型矩阵.如果两个同型矩阵A=(aij)m×n与B=(bij)m×n的对应元素相等，即 aij=bij(i=1;2; ;m;j=1;2; ;n); 则称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B. 定义1.2设A=(aij)m×n与B=(bij)m×n为同型矩阵，则称矩阵C=(aij+bij)m×n为矩阵A与B的和，记作C=A+B. 矩阵(.aij)m×n称为矩阵A=(aij)m×n的负矩阵，记作-A. 根据上述定义容易证明，矩阵的加法具有下列运算性质. 性质1.1设A，B，C，O都是m×n矩阵，则 (1)A+B=B+A; (2)(A+B)+C=A+(B+C); (3)A+O=A; (4)A+(.A)=O. 利用负矩阵，可以定义矩阵的减法.两个同型矩阵A与B的差A-B=A+(-B). 显然，矩阵的加法和减法推广了数的加法和减法.下面定义一个数与一个矩阵的数乘运算.该运算可以视为数的乘法的一种推广. 定义1.3设k为一个数，A=(aij)m×n为一个矩阵，则矩阵(kaij)m×n称为数k与矩阵A=(aij)m×n的数量乘积，简称为数乘，记作kA. 根据这个定义，容易验证数乘运算具有下列运算性质. 性质1.2设A，B都是m×n矩阵，k;l为任意数，则 (1)(k+l)A=kA+lA; (2)k(A+B)=kA+kB; (3)k(lA)=(kl)A; (4)1A=A. 矩阵的加法与数乘运算统称为矩阵的线性运算. 例1.1设，求A+2B. 解 注1.1设A=(aij)m×n.对于任意的i=1;2; ;m;j=1;2; ;n，用Eij表示一个m×n矩阵，其第i行第j列交叉处元素为1而其余元素全为零.例如 于是有A=.这些矩阵Eij(i=1; ;m;j=1; ;n)称为矩阵单位. 1.2.2矩阵的乘法 假设变量x1，x2与y1，y2，y3之间有如下线性关系 变量y1，y2，y3与z1，z2有如下线性关系 那么变量x1，x2与z1，z2的关系是什么呢? 将上述(1.2.2)式代入(1.2.1)式得 这三个式子对应的矩阵分别记为 则C的第i行第j列交叉处元素为A的第i行的每一个元素与B的第j列对应元素乘积之和，即，其中i;j=1;2，此时C称为A与B的积.一般地，有如下定义. 定义1.4设矩阵A=(aik)m×s，B=(bkj)s×n.作矩阵C=(cij)m×n，其中 矩阵C为矩阵A与矩阵B的乘积，记作C=AB，即 数学中许多关系用矩阵乘积来表达就非常简洁.例如，n个变量x1;x2; ;xn与m个变量y1;y2; ;ym之间的关系式 (其中aij为常数)称为从变量x1;x2; ;xn到变量y1;y2; ;ym的线性变换.利用矩阵乘法，上述线性变换可记为 y=Ax;其中 由此可见，一个从变量x1;x2; ;xn到变量y1;y2; ;ym的线性变换可以和一个m×n矩阵A相互确定. 再例如线性方程组