计算电磁学(第二版)

第1章绪论 1.1计算电磁学的产生背景 1.1.1高性能计算技术 现代科学研究的基本模式是“科学实验、理论分析、高性能计算”三位一体。在国际高技术竞争日益激烈的今天，高性能计算技术已经成为体现一个国家经济、科学和国防实力的重要标志，成为解决挑战性课题的一个根本途径。因此，在全球范围展开的高性能计算技术的竞争又呈白热化态势。 硬件和软件是高性能计算技术的两个组成部分。 从硬件方面来看，以计算技术开发领先的美国为例，为了保持其在世界上的领先地位，它早在1993年就由国会通过了高性會旨计算与通信（High Performance Computing and Communications，HPCC）计划。而后，美国国家科学基金会、能源部、国防部、教育部、卫生部、国家航空航天局、国家安全局、国家环境保护局、国家海洋和大气管理局陆续参与了这一计划。更快的运算速度、更大容量的内存是高性能计算机努力追求的目标。随着单处理机的速度越来越趋近物理极限，高性能计算机必须走大规模并行处理之路，大规模并行处理的突破口是并行计算机模型。此外，基于一些新材料、新工艺的新型计算机，如光互连技术、超导体计算机、量子计算机和分子计算机等的研究也在持续升温。 从软件方面来看，算法是软件的核心，是计算机的灵魂。对一个给定的计算机系统而言，其解决问题的能力和工作效率是由算法来决定的。目前计算机所做的信息处理大致分为一般问题和难解问题。对于一般问题，人们可以找到有效算法使计算机可以在能够容忍的时间和空间内解决这些问题。而对于难解问题，人们很难找到快速有效的算法。当被处理问题规模增大时，计算机的计算量有可能成百倍、成千倍呈指数型地增长，*终在时间和空间上超出计算机的实际计算能力。几十年来，计算机理论学者和算法专家一直在致力于寻找对一般问题的实时高性能算法和对大规模难解问题的快速算法。 科学和工程计算的高速进步，是20世纪后半叶*重要的科技进步。随着计算机和计算方法的飞速发展，高性能科学和工程计算取得了日新月异的进步，几乎所有学科都走向定量化和精确化，从而产生了一系列的计算性学科分支，如计算物理、计算化学、计算生物学、计算地质学、计算气象学和计算材料科学等，而计算数学则是它们的联系纽带和共性基础。这就使得计算数学这个古老的数学科目成为现代数学中一个生机盎然的分支，并发展成为一门新的学科一科学与工程计算。 利用高性能计算机，可以对新研究的对象进行数值模拟和动态显示，获得由实验很难得到甚至根本得不到的科学结果。在许多情况下，或者是理论模型复杂甚至理论模型尚未建立，或者是实验费用昂贵甚至不能进行实验，计算就成为解决这些问题的唯一或主要手段。高性能计算技术极大地提高了高科技研究的能力，加速了把科学技术转化为生产力的过程，深刻地影响着人类认识世界和改造世界的方法与途径，正推动着当代科学向更纵深的方向发展。 高性能计算是我国在世界科技领域占有一席之地的学科方向之一。在计算机硬件远落后于发达国家的不利条件下，我们充分发挥自己的智力优势，在核武器研制、火箭卫星发射、石油勘探、大地测量、水坝建筑、气象预报、生态环境监测等领域都取得了举世瞩目的成绩。 1.1.2计算电磁学的重要性 与高性能计算技术发展同步，在电磁场与微波技术学科，以电磁场理论为基础，以高性能计算技术为工具和手段，运用计算数学提供的各种方法，诞生了一门解决复杂电磁场理论和工程问题的应用科学-计算电磁学（computational electromagnetics，CEM），它是一门新兴的边缘科学。 电磁场理论的早期发展是和无线电通信、雷达的发展分不开的，它主要应用在军事领域。现在，电磁场理论的应用已经遍及地学、生命科学和医学、材料科学和信息科学等几乎所有的技术科学领域。计算电磁学的研究内容涉及面很广，它渗透到电磁学的各个领域，与电磁场理论、电磁场工程互相联系、互相依赖，相辅相成。计算电磁学对电磁场工程而言，是要解决实际电磁场工程中越来越复杂的电磁场问题的建模与仿真、优化与设计等问题；而电磁场工程也为之提供实验结果，以验证其计算结果的正确性。对电磁场理论而言，计算电磁学研究可以为电磁场理论研究提供进行复杂的数值及解析运算的方法、手段和计算结果；而电磁场理论的研究也为计算电磁学研究提供了电磁规律、数学方程，进而验证计算电磁学研究所计算的结果。 计算电磁学对电磁场理论发展的影响绝不仅仅是提供一个计算工具的问题，而是使整个电磁场理论的发展发生了革命性的变革。毫不夸张地说，近二三十年来，电磁场理论本身的发展，无一不是与计算电磁学的发展相联系的。目前，计算电磁学已成为对复杂体系的电磁规律、电磁性质进行研究的重要手段，为电磁场理论研究开辟了新的途径，对电磁场工程的发展起了极大的推动作用。 1.1.3计算电磁学的研究特点 计算电磁学研究的**步是对电磁问题进行分析，抓住主要因素，忽略各种次要因素，建立起相应的电磁、数学模型。在这一点上与电磁场理论的做法极为相似。在电磁、数学模型确定之后，就是要选择算法并使之在计算机上实现。 首先来讨论算法。对确定的数学模型，可以采用数值或非数值计算来求解。这项工作是计算数学讨论的主要内容，也是计算电磁学的基础。由于现代程序存储是通用数字电子计算机的内在特点，它实质上只能做比加法略微多一些的运算和操作。而从实际问题建立起的复杂数学模型往往是以微分或积分方程等形式表示出来的。表面上，计算机所提供的处理能力与所要求解的问题的差距是相当大的。沟通这一鸿沟的就是算法。算法可以简单地认为是在解决具体问题时，计算机所能执行的步骤。算法将一个复杂问题化为简单问题，简单问题再化为基本问题，基本问题再化为计算机能够执行的运算。算法选取的好坏是影响到能否计算出结果、精度高低或计算量大小的关键。以快速傅里叶变换（fast Fourier transformation，FFT）为例，假设离散化后待处理的点数为#，普通傅里叶变换算法需O（N2）次操作，快速傅里叶变换则只需O（Nlog2N）次操作。当N=106时，后者的计算速度是前者的50000倍。一般来说，算法分析是计算机科学和计算数学的研究范畴，计算电磁学工作者只要应用它们即可。但是，如果计算电磁学工作者自己提出一个新算法，就仍有必要进行算法分析。 其次是算法的误差。一般来说，所有数值计算方法都存在误差，其来源有以下四个方面。 （1）模型误差。将实际问题归结为数学问题时，总要忽略一些主观上认为是次要的因素，加上这样或那样的限制。这种理想化的“数学模型”，实质上是对客观电磁现象的近似描述，这种近似描述本身就隐含着误差，这就是模型误差。 （2）观测误差。数学模型中常常包含着一些通过实验测量得到的物理参数，如介电常数、磁导率、电导率、电磁耦合系数等。这些实验测量参数不可避免地带有误差，这种误差称为观测误差。 （3）方法误差。在求解过程中，往往由于数学模型相当复杂而不能获得它的精确解；或者有些运算只能用极限过程来定义，而计算机只能进行有限次运算，这就必然引人了误差。这种误差是因为采用这样的数值求解算法而使运算结果与模型的准确解产生误差，因而也称方法误差或截断误差。例如，无穷级数就只能截取有限项计算，存在截断误差。 （4）舍人误差。由于计算机的有限字长而带来的误差称为舍人误差，也称为计算误差，在计算机上进行千千万万次运算以后，其舍人误差的积累也是相当惊人的。 上述四方面所产生的误差是在进行任何一项计算中都必须考虑的，从而根据实际精度要求选择和设计出好的计算方法。 *后，还需考虑计算的收敛性和稳定性问题。 对算法、误差、收敛性及稳定性的研究属于计算数学的基本内容。计算电磁学在吸收计算数学研究成果的基础上，采用具有自身学科特色的研究方法，它在研究上的主要特点表现在以下几方面。 （1）计算电磁学工作者在选用计算方法时更多的考虑是在算法和计算结果的物理意义上，而计算数学工作者更感兴趣的是算法的逼近阶、计算精度、收敛性及稳定性等问题。这是由于计算电磁学是以要解决的电磁问题为出发点和归宿点，因而对算法的评价和偏爱程度就与计算数学并不总是一致的。计算电磁学有时采用较为简单可靠、物理意义清楚的算法，对复杂物理问题作各种近似。例如，对非线性问题用一系列线性化的问题去逼近；对非均勻介质用一批小的均勻介质的组合去逼近；对不规则几何形体用一批规则几何形体的组合来逼近等。 （2）计算电磁学的任务是寻求电磁规律、解决电磁问题，因而，它有时利用某些直观的电磁现象，加上逻辑推理、判断和实验，采用自身特有的方法，而可以不拘泥于数学上经严格证明得到的计算方法。 （3）计算电磁学工作者在使用计算机分析整理大量计算数据的基础上，还需得出物理结论，这些结论*好是以某种解析形式的近似解来表达。这样才有利于直接反映出电磁规律和理论的进一步推广使用。 1.2电磁场问题求解方法分类 求解电磁场问题的方法，归纳起来可分为三大类（其中每一类又包含若干种方法）：**类是解析法；第二类是数值法；第三类是半解析数值法。 1.2.1解析法 电磁学是一门古老而又不断发展的学科。采用经典的数学分析方法是近百年电磁学学科发展中一个极为重要的手段。解析法包括建立和求解偏微分方程或积分方程。严格求解偏微分方程的经典方法是分离变量法，严格求解积分方程的方法主要是变换数学法。解析法的优点如下。 （1）可将解答表示为已知函数的显式，从而可计算出精确的数值结果。 （2）可以作为近似解和数值解的检验标准。 （3）在解析过程中和在解的显式中可以观察到问题的内在联系和各个参数对数值结果所起的作用。 但是解析法存在严重的缺点，主要是它仅能用于解决很少量的问题。事实上，只有在为数不多的坐标系中才能分离变量，而用积分方程法时往往求不出结果，致使分析过程既困难又复杂。例如，对于标量亥姆霍兹方程，只有在十一种坐标系下（直角、圆柱、圆锥、球、椭球、椭圆柱、抛物柱面、抛物面、旋转抛物面、扁旋转椭球和长旋转椭球坐标系）才能用分离变量法求解。如果边界面不是十一种坐标系中一个坐标系的一个坐标面或该坐标系的几个坐标面的组合，或者边界条件不是**类（该标量在边界上的值为已知）或第二类（该标量在边界上沿法线方向的空间导数为已知）时，分离变量就不能进行。又如，只有当积分方程中的核是某些形式时，才能用变换数学来严格求解它。 正因为有严格解的问题是不多的，所以近似解析法变得十分重要。常见的有微扰法、变分法、多极子展开等近似解析法。高频近似法（如几何光学法[1]、物理光学法[2]、几何绕射理论[3]等）、低频近似法（如准静态场近似等）也是近似解析法。近似解析法也是一种解析法，但不是严格解析法，用这些方法可以求解一些用严格法不能解决的问题。当然，它们也可以用于求解一些用严格解析法可以解决的问题，用起来比较简便。诚然，近似法中的解析部分比严格解析法中的解析部分要少些，但计算工作量却较大，且随着期望的精确度的提高而增大。倘若使其工作量较小，其数值结果就会不太精确。这些方法的共同特点是：根据要求解问题的解的范围（定义域、值域），做出在该范围内成立的近似假设，从而达到简化模型、简化求解过程的目的。由于现实问题的千姿百态，因而近似假设也就层出不穷，不断有在新的问题中、在新的近似假设条件下派生出的新的近似解析方法出现。 传统上，大部分电磁场问题的求解是基于解析模型的。从麦克斯韦方程或亥姆霍兹方程出发，加上特定的边界条件及本构参数，就可得到一个微分或积分方程体系，如图1-1所示。然后，这一模型被尽可能多地用解析方法处理，*后才编程计算。这一过程的特点如下。 （1）强调电磁分析和数学分析。 （2）通常给出一个紧凑的、计算效率高的程