马同学图解线性代数

第1章 向量空间及其性质 1
1．1 向量 2
1．1．1 有向线段 2
1．1．2 向量的定义 3
1．1．3 零向量 5
1．1．4 长度和方向 6
1．2 向量的加法和数乘 6
1．2．1 向量的加法 6
1．2．2 向量的数乘 10
1．2．3 基本运算法则 11
1．3 线性组合与线性相关 12
1．3．1 混合颜色 13
1．3．2 线性组合 15
1．3．3 线性相关和线性无关 17
1．3．4 线性相关和线性无关的例题 18
1．3．5 升维与降维 20
1．4 向量空间 21
1．4．1 宇宙空间和向量空间 22
1．4．2 向量空间的严格定义 23
1．4．3 特殊向量空间 24
1．4．4 子空间 25
1．5 张成空间 26
1．5．1 等价向量组 28
1．5．2 几何意义 31
1．5．3 *大无关组 33
1．5．4 向量组的秩 34
1．6 向量空间的基 35
1．6．1 基的定义 36
1．6．2 基与坐标 38
1．6．3 坐标系 40
1．6．4 向量空间的维度 42
1．7 数量积（点积） 43
1．7．1 欧氏几何 43
1．7．2 长度和角度 44
1．7．3 新的运算 47
1．7．4 点积的性质 48
1．7．5 余弦相似性 50

第2章 矩阵和矩阵乘法 53
2．1 矩阵和线性方程组 53
2．1．1 电视转播与线性方程组 53
2．1．2 线性方程组 55
2．1．3 矩阵的出现 56
2．1．4 矩阵标记法与解线性方程组 58
2．1．5 矩阵乘法 59
2．1．6 矩阵的结合 62
2．1．7 彩色电视机的计算 63
2．2 高斯消元法 64
2．2．1 高斯消元法的思想 64
2．2．2 特殊矩阵 69
2．2．3 初等行变换与初等行矩阵 72
2．3 矩阵的加法与乘法 75
2．3．1 矩阵加法 75
2．3．2 矩阵数乘 76
2．3．3 矩阵乘法的合法性 77
2．3．4 矩阵乘法的行观点 77
2．3．5 矩阵乘法的列观点 78
2．3．6 矩阵乘法的点积观点 79
2．3．7 矩阵乘法的性质 80
2．4 矩阵的幂运算与转置 81
2．4．1 幂运算 81
2．4．2 矩阵的转置 83
2．4．3 对称阵与反对称阵 85
2．5 矩阵乘法的几何意义 86
2．5．1 矩阵的左乘和右乘 86
2．5．2 矩阵的乘法 89
2．5．3 总结 91

第3章 矩阵函数及其几何意义 92
3．1 矩阵函数与线性函数 92
3．1．1 函数 92
3．1．2 矩阵函数 94
3．1．3 矩阵是线性函数 95
3．2 旋转矩阵函数 98
3．2．1 旋转矩阵的左乘 98
3．2．2 旋转椭圆 99
3．3 常用的矩阵函数 100
3．3．1 单位阵 101
3．3．2 镜像矩阵 102
3．3．3 伸缩矩阵 102
3．3．4 剪切矩阵 103
3．4 矩阵函数的性质 104
3．4．1 矩阵函数的交换律 104
3．4．2 矩阵函数的结合律 105

第4章 矩阵的秩的定义及意义 107
4．1 矩阵的秩 107
4．1．1 列空间 107
4．1．2 行空间 109
4．1．3 行秩、列秩、矩阵的秩 110
4．2 矩阵函数的四要素 111
4．2．1 定义域 112
4．2．2 映射法则 113
4．2．3 值域 115
4．2．4 到达域 115
4．2．5 矩阵函数 116
4．3 矩阵函数的值域 117
4．3．1 值域与列空间 117
4．3．2 值域与矩阵的秩 119
4．3．3 矩阵的秩的性质 121
4．4 矩阵函数的单射 124
4．5 矩阵函数的满射 131
4．6 矩阵函数的双射 133
4．7 逆矩阵 134
4．7．1 逆矩阵的存在性 134
4．7．2 逆矩阵的定义 135
4．7．3 初等行矩阵求逆矩阵 137
4．7．4 高斯若尔当求逆矩阵 137
4．7．5 逆矩阵的性质 138
4．8 初等变换求秩 139
4．8．1 初等行变换求秩 139
4．8．2 初等列变换与标准形 142
4．9 分块矩阵 143
4．9．1 分块矩阵的定义 143
4．9．2 分块矩阵的运算规则 144
4．9．3 分块对角矩阵 146
4．9．4 分块矩阵的转置 148
4．9．5 西尔维斯特不等式 148

第5章 线性方程组的解 150
5．1 解的存在性 150
5．2 解的个数 154
5．2．1 解的个数的矩阵观点 155
5．2．2 满秩矩阵有唯一解 156
5．3 解集 157
5．3．1 齐次线性方程组的解集 157
5．3．2 非齐次线性方程组的解 161
5．3．3 解集的结构 164
5．4 秩零定理 166
5．4．1 二维中的例子 166
5．4．2 三维中的例子 167
5．4．3 秩零定理的严格形式 169

第6章 行列式 170
6．1 行列式的来历 170
6．1．1 二阶行列式 171
6．1．2 三阶行列式 172
6．1．3 克拉默法则 174
6．1．4 全排列与逆序数 176
6．1．5 行列式的定义 178
6．2 二阶行列式 179
6．2．1 伸缩比例 179
6．2．2 原理 182
6．2．3 总结 186
6．3 向量积 187
6．3．1 三维空间中的有向面积 187
6．3．2 向量积的方向 188
6．3．3 求解三维空间中的有向面积 190
6．4 三阶行列式 195
6．4．1 有向体积 195
6．4．2 有向体积之比 196
6．4．3 总结 200
6．5 子式和余子式 200
6．5．1 子式 201
6．5．2 余子式 202
6．5．3 代数余子式 203
6．5．4 总结 204
6．6 行列式的性质 204
6．6．1 转置行列式 204
6．6．2 满秩、可逆与行列式 205
6．6．3 行列式的数乘 206
6．6．4 行（列）互换 207
6．6．5 行列式的倍加 208
6．6．6 行列式的加法 210
6．6．7 行列式的乘法 211
6．6．8 三角行列式的计算法 212
6．6．9 三角分块行列式的计算法 213
6．6．10 拉普拉斯展开 214
6．6．11 拉普拉斯展开的推论 217
6．7 克拉默法则 218
6．8 行列式的应用 221
6．8．1 范德蒙行列式 221
6．8．2 伴随矩阵与逆矩阵 224
6．8．3 伴随矩阵的秩 225

第7章 相似矩阵 227
7．1 函数的坐标系 227
7．1．1 日心说与地心说 227
7．1．2 阿基米德螺线 228
7．1．3 亮度调整 229
7．2 基变换 230
7．2．1 各种基变换的例题 230
7．2．2 过渡矩阵和基变换公式 235
7．3 坐标变换 237
7．3．1 坐标变换公式 237
7．3．2 矩阵函数和坐标变换 241
7．4 相似矩阵 242
7．4．1 相似矩阵的定义 243
7．4．2 相似矩阵的性质 247
7．4．3 亮度的调整 249

第8章 特征向量与对角化 252
8．1 特征值与特征向量 252
8．1．1 特征值与特征向量的定义 253
8．1．2 特征空间与特征方程 254
8．1．3 互异特征值对应的特征向量 260
8．2 对角化 261
8．3 再谈特征值与特征向量 265
8．4 正交矩阵 268
8．4．1 正交基 269
8．4．2 正交矩阵的定义 271
8．5 施密特正交化 273
8．5．1 二维空间的正交基 274
8．5．2 三维空间的正交基 276
8．5．3 施密特正交化的完整形式 279
8．6 正交对角化 279
8．6．1 整体的思路 280
8．6．2 实对称阵 281
8．6．3 完整的解题过程 282
8．6．4 正交对角化的定义 284
8．7 相似矩阵中的不变量 285
8．7．1 相似矩阵的特征值相同 285
8．7．2 相似矩阵的行列式相同 288
8．7．3 相似矩阵的迹相同 290

第9章 二次型与合同矩阵 292
9．1 二次型 292
9．1．1 二次型的定义 292
9．1．2 从二次型到矩阵 293
9．2 合同矩阵 296
9．2．1 合同矩阵的定义 299
9．2．2 一点补充 299
9．3 合同对角化 300
9．3．1 正交合同对角化 300
9．3．2 拉格朗日配方法 303
9．4 惯性定理与正负定 309
9．4．1 惯性定理 309
9．4．2 正定与负定 311