流体力学基础

第1章绪论 1.1流体力学的发展 流体力学是经典力学的一个重要分支，研究在各种力的作用下流体的静止和运动状态，以及流体和其他物体有相对运动时的相互作用和流动规律。 人类早期通过治理洪水和开凿运河，总结了水的流动规律。坐落在成都平原西部岷江上的都江堰是中国古代无坝引水的代表性工程，两千多年来用于灌溉成都平原，造就天府之国。这是中国古代劳动人民勤劳、勇敢、智慧的结晶。 公元前250年，阿基米德研究了力平衡原理，提出了著名的流体力学浮力定理，奠定了流体静力学的基础。之后的很长一段时间，流体力学的发展缓慢。直到15世纪，意大利天才科学家达?芬奇发现了一系列对流动、旋涡、流体机械等定性认知成果。1653年，法国科学家帕斯卡提出流体静压力传递原理即帕斯卡定律，之后，意大利科学家伽利略和托里拆利发现了大气压力随高度的变化，1686年，英国科学家牛顿提出了流体内摩擦定律。这些为经典流体力学理论的建立奠定了基础。 1738年，瑞士科学家伯努利将质点动能定理沿微元流管积分，导出一元流机械能守恒方程，即著名的伯努利方程。1757年，瑞士数学家欧拉将这一方程推广至可压缩流动。1752年，法国科学家达朗贝尔发表的《流体阻尼的一种新理论》一文中，首次用微分方程表示场，提出了达朗贝尔佯谬。1753年，欧拉提出连续介质假设，1755年，欧拉提出描述流体运动的空间点法（即欧拉法），建立了理想流体运动微分方程。1781年，法国科学家拉格朗日，提出描述流体运动的质点法，建立了流体质点运动速度与速度势函数和流函数的关系。1785年，法国科学家拉普拉斯建立了基于力势函数的拉普拉斯方程。至此，理想流体力学和无旋流动经典理论体系基本建立。 1799年，意大利物理学家文丘里通过变截面管道实验，发明了著名的文丘里管。1839年，德国学者汉根发现圆管中的水流特性与速度大小有关，1869年，发现两种不同流态水流特性不同。1880年，英国学者雷诺进行了著名的圆管流态转捩实验，提出层流和湍流的概念，并建议用一个无量纲数作为判别条件，即后来被熟知的雷诺数。 进入19世纪，流体力学重点关注了理想流体无旋运动理论问题及求解，建立了理想流体旋涡运动理论和黏性流体力学方程等。1858年，德国流体力学家亥姆霍兹提出了流体微团的速度分解定理，同时研究了理想不可压缩流体在有势力作用下的有旋运动，提出亥姆霍兹旋涡运动的三大定律。1882年，英国科学家兰金基于理想流体理论，完善了奇点叠加原理，建立了自由涡、强迫涡和组合涡的数学理论，提出了著名的兰金涡流模型。 1752年，法国科学家达朗贝尔提出任意三维物体理想流体定常绕流无阻力的达朗贝尔佯谬以来，人们对基于理想流体模型的经典理论开始产生怀疑，转而开始研究黏性流体运动。首先，基于牛顿内摩擦定律（又称“牛顿黏性定律”）（1686年），建立了黏性应力与流体微团变形速率之间的本构关系。在1755年欧拉理想流体运动方程的基础上，经过1822年法国工程师纳维、1829年法国科学家泊松、1843年法国力学家圣维南发展，*后于1845年由英国科学家斯托克斯在剑桥大学三一学院提出应力变形率的三大关系，建立了牛顿流体黏性运动微分方程，即著名的纳维-斯托克斯（Navier-Stokes）方程，简称N-S方程。从理想流体运动的欧拉方程组到N-S方程，历时九十年，数学家们为流体力学主要方程的建立与推导做出了卓越贡献。但是N-S方程是非线性的二阶偏微分方程组，一般意义的精确求解在数学上是困难的。 1904年，普朗特在德国海德堡第三次国际数学年会上发表了一篇《论小黏性流体运动》的论文，提出著名的边界层概念。普朗特把这一近物面区黏性力起重要作用的薄层称为边界层。边界层概念深刻阐述了在大雷诺数情况下绕流物体表面受黏性影响的边界层流动特征及其控制方程，巧妙地解决了整体流动和局部流动的关系问题。边界层概念的引入，为分析黏性的作用开拓了思路。1908年，德国流体力学家勃拉修斯给出零梯度平板边界层级数解；1921年，美国科学家冯?卡门推导出边界层动量积分方程；1921年，德国科学家波尔豪森基于动量积分方程建立了近似求解方法，研究了压力梯度对边界层的影响。这期间借助相似性条件假设，研究者对各种黏性层流边界层问题进行了近似求解。 进入20世纪，飞机的出现极大地推动了空气动力学的发展。1906年，茹科夫斯基发表了著名的升力公式，奠定了二维翼型理论的基础。1918～1919年，普朗特提出了大展弦比机翼的升力线理论。20世纪20～30年代，空气动力学的理论和实验得到迅速发展，人们在低速风洞中对各种飞行器进行了大量实验，很大程度上改进了飞机的气动外形。30～40年代，人类建造了一批超声速风洞，使飞机在40年代末突破了“声障”，50年代随之突破了“热障”，实现了超声速飞行和人造卫星。50年代以后，随着计算机的出现和发展，计算空气动力学得到迅速发展，理论、实验、计算成为飞行器设计必不可少的途径。20世纪60年代，计算流体力学得到快速发展，其与理论流体力学、实验流体力学构成现代流体力学的三大分支。这个时期，伴随着高速度、大容量、多功能计算机的广泛应用，促使各种流体动力学的数值方法快速发展，建立了多种解析的、离散的和统计的流体动力学模型。 如今，流体力学既是一门基础学科，也是一门应用学科。20世纪，航空航天的飞速发展极大地推动了空气动力学的发展，而生物工程和生命科学、海洋、环境、能源等新兴学科领域也不断地向流体力学提出了新的研究任务。因此，新技术革命将继续成为流体力学发展的强大动力，一方面根据工程技术的需要进行流体力学应用性研究；另一方面将更深入地开展基础研究以探求流体的复杂流动规律和机理，如湍流理论。 1.2流体的力学特性和连续介质模型 1.2.1流体的力学特性 什么是流体呢？一般说来，液体和气体统称为流体。 对比流体与固体来说明流体的力学特性。从微观角度看，流体分子之间的吸引力比固体分子之间吸引力要小，分子运动也比较剧烈，因而分子排列松散，本身不能保持一定形状。从力学性质来说，固体具有抵抗压力、拉力和切力三种能力，在外力作用下通常只发生较小的变形；流体一般来说只能承受压力，而不能承受拉力（表面张力除外）。流体在静止状态时也不能承受剪切力，当它受到剪切力时，就会发生连续不断的变形（即流动）。因此，从力学性质角度可定义流体为受到任何微小剪切力时都会发生连续不断变形的物质。 液体和气体虽然都为流体，但是二者具有如下不同的特性：①液体分子之间的距离很近，对液体加压时，液体分子距离稍有缩小，就会出现很大的斥力来抵抗外压力。这就是说，液体分子之间的距离很难被缩小。因此，液体通常被称为不可压缩流体。由于分子间引力的作用，液体有力求自身表面积收缩到*小的特性，一定量的液体在大容积内只能占据一定的体积，而在上部形成自由分界面。②在通常情况下，气体分子之间的距离比分子有效直径大得多，只有当分子之间距离缩小很多时，才会明显地显示出分子间的斥力。因此，对气体加压时，其体积很容易缩小，气体被称为可压缩流体。气体分子间的引力也很小，分子热运动对气体特性起着决定性作用。这就使气体既没有一定的形状也没有一定的体积。一定量的气体进入大容器后，由于分子频繁不息的热运动，气体很快充满整个容器，不能形成自由表面。 这里要指出，虽然气体是可压缩的，当气体的压强和温度变化不大且其流动速度远小于音速时，可以忽略气体的压缩性。因此，若研究的问题不涉及液体的压缩性，所建立的流体力学规律，既适用于液体也适用于气体。 1.2.2连续介质模型 1.连续介质模型描述 流体是由大量不断运动着的分子组成的。从微观角度看，分子之间总是存在间隙，因此流体质量的空间分布是不连续的，同时，分子的随机运动导致任一空间点上的流体物理量对于时间不连续。要研究这样的微观运动是极其困难的。但是，人们用仪器测量到的或观察到的流体宏观结构及运动却又明显地呈现出连续性和确定性，流体力学研究的正是流体的宏观运动。宏观运动的物理量（如压强、温度、密度和速度等）是大量分子的行为和作用的平均效果。因此，在流体力学中，是用宏观流体模型来代替微观有空隙的分子结构。1753年，欧拉首先采用了“连续介质”作为宏观流体模型：将流体看成是由无限多流体质点组成的稠密而无间隙的连续介质，这个模型称为连续介质模型，或连续介质假设。 流体质点在几何上是一个点，在物理上是一个体积非常小的流体微团，它相对于流体空间和流体中固体的尺寸来说充分小且可忽略不计，但它和分子的尺寸或分子间距相比却要大得多，流体质点内包含足够多的流体分子。因此，可将质点简单概括为宏观无限小，微观足够大。 用连续介质模型来研究流体的运动，不必去研究大量复杂的分子运动，只需研究大量分子所表现出来的宏观运动和作用的平均效果，而且，描述连续介质宏观运动的物理量都可看成是空间坐标和时间的连续函数。因而，在流体力学中可以广泛地应用数学上有关连续函数的解析方法。 需要注意的是，连续介质模型在某些情况下是不适用的。例如，高真空泵中，温度为293K的空气，当压强为0.1Pa时，其分子之间的距离为，这个数值与真空泵的结构尺寸可比拟，这时就不能把气体看成是连续介质了。 一般来说，液体可作为连续介质来讨论。对于气体，通常认为当分子的平均自由行程l和气流中物体的特征尺寸L的比值时，连续介质模型将不再适用。本书只讨论可作为连续介质来研究的流体力学问题。 2.连续介质中流体参数的定义 连续介质中，空间任意点上的流体物理量是位于该点上流体质点的物理量。下面以密度为例说明连续介质中流体参数的定义。 非均质流体中任一点的密度可用式（1-1）定义为 （1-1） 式中，是围绕点的一个小体积，见图1-1（a）；是包含的流体质量；是体积内流体的平均密度。 图1-1非均质流体密度求解 首先假定比较大，然后围绕点逐渐缩小，于是对的变化曲线便如图1-1（b）所示。起初，的值随的缩小趋近一个渐进值，这是因为越小，包含在小体积内的流体质量分布越来越均匀。但是，当缩小到只包含少数几个分子的时候，流体分子进出该体积，导致平均密度随时间发生忽大忽小的变化，就不可能有确定的数值。于是设想有这样一个*小体积，它与物体的特征尺寸相比是微不足道的，可以看成是一个流体属性均匀的空间点，但它与分子尺寸或分子间距离相比却要大得多，在内包含足够多的分子数目，使得密度的统计平均值有确切的意义，这个就是流体质点的体积。可以看出，连续介质中某一点的流体密度实质上是流体质点的密度。同理，连续介质中某一点处的流体速度，是指某瞬时该点上流体质点的质心速度。因此，连续介质中，空间任意点上流体对应的物理量都是指位于该点上流体质点对应的物理量，这就是连续介质中流体参数的定义方法。 1.3流体的黏性 1.3.1牛顿内摩擦定律 如图1-2所示，两块平行平板之间充满流体，下板固定不动，当上板在外力作用下以速度平行于下板运动时，由实验测知，附着在动板下面的流层具有与动板相同的速度，动板下面的流体速度小于，越往下，流体速度越小，附着在定板上的流体层速度为零。这一事实说明：每一运动较慢的流体层，都是在运动较快的流体层带动下才运动的。同时，每一运动较快的流体层也受到运动较慢的流体层阻碍，也就是说，在做相对运动的两流体层的接触面上，存在一对等值而反向的作用力来阻碍两相邻流体层做相对运动，流体的这种性质称为流体的黏性，由黏性产生的作用力称为黏性力或内摩擦力。 黏性力产生的物理原因是存在分子不规则运动的动量交换和分子间的吸引力。 分子作不规则运动时，各流层之间有分子迁移掺混，快层分子进入慢层时，给慢层以向前的碰撞，交换动量，使慢层加速；慢层分子迁移到快层时，给快层以向后碰撞，形成阻力使快层减速，