k-均值问题的近似算法

目 录

第 1 章 绪论 1

1.1 k-均值问题 1

1.2 k-均值问题的重要变形 7

1.2.1 k-中位问题 7

1.2.2 球面 k-均值问题 8

1.2.3 鲁棒 k-均值/中位问题 9

1.2.4 带约束的 k-均值问题 11

1.2.5 隐私保护 k-均值问题 12

1.2.6 泛函 k-均值问题 13

1.2.7 模糊 C-均值问题 13

1.2.8 其他变形 14

第 2 章 k-均值初始化方法 15

2.1 k-均值 ++ 算法 15

2.1.1 算法设计 16

2.1.2 算法分析 16

2.1.3 下界 25

2.2 k-均值 || 算法 27

2.2.1 并行算法设计 27

2.2.2 并行算法分析 28

第 3 章 Johnson-Lindenstrauss 降维引理 35

3.1 预备知识 35

3.1.1 基本概念 35

3.1.2 Brunn-Minkowski 不等式 36

3.2 高维空间及其特性 36

3.2.1 超球体的几何特性 37

3.2.2 高维空间的概率集中性 38

3.3 随机投影定理和 Johnson-Lindenstrauss 降维引理 40

3.3.1 随机投影定理 40

3.3.2 Johnson-Lindenstrauss 降维引理 42

第 4 章 核心集与近似质心集 45

4.1 核心集 45

4.1.1 问题描述 45

4.1.2 核心集构造算法 47

4.1.3 核心集结论的证明 49

4.2 -近似质心集 53

4.2.1 -近似质心集的定义和性质. 54

4.2.2 整数格上的 k-均值问题 55

4.2.3 稀疏实例 57

4.2.4 一般实例 61

第 5 章 k-中位和 k-均值问题的局部搜索算法 67

5.1 k-中位问题的局部搜索算法 67

5.1.1 问题描述 67

5.1.2 单交换局部搜索算法 68

5.1.3 简单情形的局部比值 68

5.1.4 一般情形的局部比值 78

5.1.5 多项式时间近似算法 80

5.1.6 多交换局部搜索算法 83

5.2 k-均值问题的局部搜索算法 87

5.2.1 单交换局部搜索算法 87

5.2.2 多交换局部搜索算法 91

第 6 章 k-均值问题的双准则近似算法 95

6.1 线性规划舍入算法 95

6.2 局部搜索算法 106

第 7 章 有序 k-中位问题 113

7.1 问题描述 113

7.2 近似算法 114

7.2.1 算法框架 114

7.2.2 矩形有序 k-中位问题的近似比分析 116

7.2.3 一般有序 k-中位问题的近似比分析 123

第 8 章 球面 k-均值问题 127

8.1 问题描述 127

8.1.1 概述 127

8.1.2 性质 129

8.2 球面 k-均值问题的初始化算法 132

8.2.1 问题描述 132

8.2.2 可分离球面 k-均值问题的近似初始化算法 133

8.2.3 推广的球面 k-均值问题的近似算法 140

8.3 局部搜索算法 142

8.3.1 单交换的局部搜索算法 142

8.3.2 多交换的局部搜索算法 148

第 9 章 鲁棒 k-均值问题 152

9.1 带惩罚的 k-均值问题 152

9.1.1 概述 152

9.1.2 单交换局部搜索算法 152

9.1.3 多交换局部搜索算法 158

9.2 带惩罚 k-中位/均值问题局部搜索算法 162

9.2.1 问题描述 163

9.2.2 算法及分析 163

9.3 带异常点 k-中位/均值问题局部搜索算法 171

9.3.1 问题描述 171

9.3.2 算法描述 172

9.3.3 近似比分析 173

第 10 章 带约束 k-均值问题 181

10.1 问题描述 181

10.2 带约束 k-均值问题的剥离封闭算法 183

10.2.1 单纯形引理 184

10.2.2 剥离封闭算法 188

10.2.3 剥离封闭算法分析 190

10.3 带约束 k-均值问题的选择算法 197

10.3.1 下界约束 k-均值问题的选择算法 197

10.3.2 r -容量约束 k-均值问题的选择算法 198

10.3.3 色谱 k-均值问题的选择算法 198

第 11 章 其他变形 199

11.1 隐私保护 k-均值 199

11.1.1 差分隐私概念 199

11.1.2 差分隐私 k-均值问题描述 200

11.1.3 差分隐私常用的机制 201

11.1.4 高维差分隐私 k-均值问题 202

11.2 泛函 k-均值问题 206

11.2.1 问题描述 206

11.2.2 泛函 k-均值问题的初始化算法 209

11.3 模糊 C-均值问题 211

11.3.1 问题描述 211

11.3.2 模糊 C-均值问题的初始化算法. 214

11.4 平方和设施选址问题 217

11.4.1 问题描述 217

11.4.2 连续 SOS-FLP 的局部搜索算法 221

11.4.3 离散 SOS-FLP 的局部搜索算法 231

11.5 带惩罚 -相似 Bregman 散度 k-均值问题 234

11.5.1 问题描述 234

11.5.2 带惩罚-相似 Bregman 散度 k-均值问题的初始化算法 236

参考文献 247

名词索引 259

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