相依样本下若干模型的统计推断

第1章预备知识 　　在1.1节中，我们给出若干常见且重要的相依序列的定义；在1.2节和1.3节中，分别给出相依序列的一些重要的性质和不等式. 　　1.1定义 　　定义1.1.1称随机序列为α混合或强混合的，若混合系数 　　其中分别为随机变量生成的σ域. 　　定义1.1.2称随机序列为φ混合的，若混合系数 　　定义1.1.3称随机序列为ψ混合的，若混合系数 　　定义1.1.4称随机变量为负相协（negatively associated，NA）的，如果对{1，2，???，n}任何两个不相交的非空子集A1与A2，都有 　　其中f1与f2是任何两个使得协方差存在且对每个变元均非降（或对每个变元均非升）的函数.称随机序列{Xn，n.1}是NA序列，如果对于每个，{X1，???，Xn}都是NA的. 　　定义1.1.5称随机变量为正相协（positively associated，PA）的，如果对{1，2，???，n}任何两个不相交的非空子集A1与A2，都有 　　其中f1和f2是任何两个使得协方差存在且对每个变元均非降（或对每个变元 　　均非升）的函数.称随机序列为PA序列，如果对任何{X1，???，Xn}都是PA的. 　　定义1.1.6称函数Rn→R为超可加函数，如果对所有的向量x，y∈Rn，满足 　　其中，∨代表它们之间的*大值，∧代表它们之间的*小值. 　　定义1.1.7称随机变量为负超可加相依（negatively superadditive dependent，NSD）的，如果存在相互独立的随机变量，使得对每个i，与Xi同分布，且 　　其中是超可加函数，并且使得其期望存在. 　　定义1.1.8称有限个随机变量为拓广负相依（extended negatively dependent，END）的，如果存在常数，使得对任意的实数x1，???，xn， 　　成立.称无穷个随机变量为END序列，当且仅当对其任意的有限的随机变量子列均为END的. 　　定义1.1.9对于随机序列，如果存在有限实数列，使得对每一个以及所有的，都有 　　则称随机序列是宽上象限相依（widely upper orthant dependent，WUOD）的；如果存在有限实数列，使得对每一个n.1以及对所有的，都有 　　则称随机变量是宽下象限相依（widely low orthant dependent，WLOD）序列；如果随机变量既是宽上象限相依又是宽下象限相依序列，则称随机变量是宽相依（widely orthant dependent，WOD）的，其控制系数为. 　　定义1.1.10函数φ称为是τ-正规的，如果对任意的和正数k，有，此处Ck为依赖于k的常数. 　　定义1.1.11一个函数空间被称为是ν阶Sobolev空间，如果对，有，此处是h的Fourier变换. 　　定义1.1.12设是概率空间（Ω，F，P）上的随机变量序列，如果P，则称{Xn}几乎处处收敛于X，记为或 　　定义1.1.13设是概率空间（Ω，F，P）上的随机变量序列，如果对每一ε>0，有，则称{Xn}依概率收敛于X，记特别当X=C时，如果，则称{Xn}依概率收敛于C，记为. 　　注1.1.1α混合或强混合的概念是Rosenblatt（1956）所引入.φ混合的概念是Dobrushin（1956）所引入.ψ混合的概念是Blum等（1963）所引入.NA的概念和PA的概念是Block等（1982）所引入.NSD的概念是胡太忠（2000）所引入.END的概念是Liu（2009）所引入.WOD的概念是Wang和Cheng（2011）所引入. 　　1.2基本性质 　　性质1.2.1（Joag-Dev and Proschan，1983）设X1，X2，???，Xn为NA（或为PA）变量，A1，A2，???，Am是集合{1，2，???，n}的两两不相交的非空子集，记，其中.（A）表示集合A中元素的个数，如果是m个对每个变元均非降（或同为对每个变元均非升）的函数，则仍为NA（或为PA）变量. 　　性质1.2.2（胡太忠，2000）设是NSD序列，如果fn（x）关于x为非升（降）的连续函数，则仍是NSD序列. 　　性质1.2.3（Liu，2010）设{X1，???，Xn}是END序列. 　　（i）如果f1，???，fn是非降或非增的函数，则随机变量f1（X1），???，fn（Xn）是END的. 　　（ii）对任意的n.1，存在M>0使得 　　性质1.2.4（Shen，2013）（i）设{Xn，n.1}是WOD序列，其控制系数为φ（n）.如果{fn（?），n.1}是单调不减（或单调不增）的函数列，则为WOD序列，且控制系数仍为φ（n）. 　　（ii）设{Xn，n.1}是WOD序列，则对每一个n.1和任意的s>0， 　　性质1.2.5（Serfling，1980）设F（x）是右连续的分布函数，则广义逆函数F.1（t）在0　　性质1.2.6（WangXJetal.，2011）令.假设，那么 　　性质1.2.7（林正炎等，1999）对任意的 　　性质1.2.8（李永明和李佳，2013）设是随机序列，如果存在常数ρ>0，使得，则.收敛. 　　性质1.2.9（吴群英，2006）设是被随机变量X随机控制的随机序列，则对任意的α>0，b>0，有下面两式成立: 　　其中C1和C2是正数.进一步有，其中C是正数. 　　1.3重要不等式 　　下面，给出本书研究中十分有用的相依序列的重要不等式. 　　对于α混合序列，我们给出如下的矩不等式和特征函数不等式. 　　引理1.3.1（杨善朝，2000b，2007）设{Xj:j.1}是α混合序列. 　　（i）如果，则 　　（ii）如果.那么，对任意给定的ε>0，存在不依赖于n的正常数，使得 　　（iii）如果.则对任意ε>0，存在正常数，使得 　　引理1.3.2（杨善朝和李永明，2006）设是α混合序列.p和q是两个正整数.令如果使得 　　对于φ混合序列，有如下的协方差不等式、矩不等式和特征函数不等式. 　　引理1.3.3（LinandLu，1996）设是φ混合序列，ξ和η分别是和F∞k+n可测随机变量. 　　（i）如果，那么 　　（ii）如果，那么 　　引理1.3.4（杨善朝，1995）假设是φ混合序列，如果 　　引理1.3.5（LiYMetal.，2008）假设是φ混合序列，p和q是两个正整数.记，则有 　　对于ψ混合序列有如下矩不等式、Bernstein型不等式和特征函数不等式. 　　引理1.3.6（陆传荣和林正炎，1997）设{Xn，n.1}是ψ混合序列， 　　特别当时， 　　引理1.3.7（李永明等，2014）设是ψ混合序列，且，那么