数学史

概 述 人们为获得各种数学知识的意愿深深地吸引着数学家们。他们认为，数学是*为精准的科学，并引以为傲；他们也认为，数学中的任何事物都是有用的。数学家对希腊几何学和印度算术颇为重视，认为这两种算法与当今的任何研究一样有用，都是非常有用并值得赞扬的。在发展过程中，数学取得了缓慢的进展，但可以确定，数学是一门先进的科学。 数学史是具有教育意义并令人愉快的，它不仅仅提示我们拥有什么，还能教导我们如何增加储存量。德·摩根（A. De Morgan）说∶“早期与数学有关的人类思想史让我们知道自己存在的错误，就这方面而言，了解数学史对我们来说是有益的。”数学史提醒我们，一种好的符号对于科学发展的重要性；它通过展示不同的分支而了解相互之间的关系；它能够大大节省人们理解悬而未决问题的时间和精力；它能够防止人们使用其他数学家已经尝试过的错误方法来解决问题；它教导我们，有时候防御工事比直接攻击更有效，当直接攻击被击退时，*好是侦察周边的地形，占领周围的有利地区，并找到破解敌方地形的有效方法。这种战略规则的重要性与研究数学的方法是一样的。 数学家们已经在圆面积的计算上耗费了大量精力，但仍然没有取得绝对性胜利。圆形和方形在阿基米德（Archimedes）时期就已经存在了。即使研究者们拥有微分学这样强大的工具，但经过了无数次失败，部分精通数学的人还是终止了圆面积计算这个项目的研究。德·摩根说∶“我们的问题是用过去的定量方法化圆为方，那仅仅是欧几里得的假设。我们已经不记得试验多少种方法来解决这类问题，但智力超群的人们经过千万次失败之后，*终通过这种方法得到了解答。”约翰·海因里希·兰伯特（Johann Heinrich Lambert）在1761年证明了圆周长与直径的比值是个无理数。多年以前，林德曼（Lindemann）证明了仅仅依靠尺子和圆规是无法计算出圆面积的。经过多年研究，林德曼*终拿出了可靠证据，证明了那些思想敏锐的数字家长期以来的质疑。也就是说，2000年来，许多研究计算圆面积的数学家一直不断努力攻克这座像苍穹一样坚不可摧的数学壁垒。 人们研究数学史的另一个原因是历史知识对数学的教授有一定的借鉴价值。学生们在学习数学时，如果将问题的解和几何演示的客观逻辑穿插着历史故事，将会大大提高学生们学习的兴趣。在学习算法时，学生们乐于听到有关巴比伦人和印度人发明“阿拉伯数字”的故事；他们惊叹1000年过去了，人们竟然没想过要把“哥伦布蛋”，也就是0引人到数学符号中。他们惊讶地发现，原先需要很长时间才发明出来的符号，如今自学也仅仅需要1个月时间。当学生们学会了如何将一个角一分为二以后，再告诉他们，用初等几何可以解一个角三等分这样简单的问题。当学生们知道如何构造一个面积是给定正方形面积两倍的正方形时，告诉他们立方体的神话来源——阿波罗（Apollo）的怒火只有通过建造一个比给定祭坛大两倍的立方体祭坛才能平息，以及数学家们如何解决建造立方圣坛这个问题的过程。在学习直角三角形理论后，告诉学生们有关发现该理论的传奇故事——毕达哥拉斯（Pythagoras）曾为了庆祝自己取得的伟大成就，给启发自己灵感的缪斯女神献祭了大量祭品的故事。当学生们对学习数学知识表示怀疑的时候，可以引用柏拉图学院（Plato Academy）门口的题词∶“不懂几何者不得入内。”在教授过程中，教师应当言简意赅地讲解数学，使学生们明白数学并不沉闷，可以在轻松的气氛中提高成绩。 数学史的重要性还在于它对历史做出了巨大的贡献，人类的进步与科学思想紧密相关，数学及物理学研究是人类智力进步的有力证据。数学史像一扇巨大的窗，透过这扇窗，可以观察过去的时代，并追溯人类智力发展的轨迹。 巴比伦数学 幼发拉底河和底格里斯河的两河流域是人类文明发展的摇篮。居住在这个地区的人们，从以前分散部落的基础上，建立了迦勒底王国和巴比伦王国。在巴比伦历史上*为耀眼的就是楔形文字或楔形类作品。 学习巴比伦数学算法，要从数字符号开始。一个竖向的W代表1，符号分别代表10和100。格罗特芬德（Grotefend）认为，表示10的符号来源于双手合十祈祷的画面，掌心紧紧合在一起，指尖并拢，拇指向外打开。巴比伦符号使用了加法和乘法两条计算规则。100以下的数字可以用不同数值的符号相加表示。比如说，丫代表2，TI代表3，CY代表4，SP代表23， 如果像大多数专家认为的那样，早期的苏美尔人是楔形文字的发明者，那么他们也完全有可能是数字符号的发明者。更令人惊讶的是，苏美尔人公开了楔形文字和数字符号的使用，不仅仅是十进制系统，也涵盖了六十进制系统。后者主要用于创建砝码表和度量衡，这些是非常有历史价值的。在之后的整数与分数的发展过程中，这些都产生了巨大影响力。我们拥有两块这样用法的巴比伦泥板。其中一块泥板，写于公元前2300年至公元前1600年之间，上面写着1到60的平方数字表。数字1，4，9，16，25，36，49，依次是前7个整数的平方数。第8个以后的数字还有1.4=8°，1.21=92，1.40=102，2.1=112，等等。这些数字是很难理解的，但是当我们采取六十进制的方法来表示时，问题就迎刃而解了，1.4=60＋4，1.21=60＋21，2.1=2×60＋1。另一块泥板上记录的是月球从新月到满月的过程，每日的月相大小。假设月球由240 个部分组成，前5天的月相大小是5，10，20，40，1.20（=80），这组数列是一组等比数列；在此以后的数列是等差数列，从第五天到第十五天的月相大小分别为1.20，1.36，1.52，2.8，2.24，2.40，2.56，3.12，3.28，3.44，4。这不仅展示了六十进制系统的用法，也让人们更了解了巴比伦数学。另外，巴比伦数学在整数的六十进制中应用了“占位法”，也就是说，在1.4（=64）中，这个1代表60。根据其位置，第二位的数字代表个位数4。十进制算法是在9世纪以后才正式引入的。在如此久远的年代就已经开始引用占位法是很了不起的事情。在占位法的通常应用以及系统应用中需要使用到符号“0”。那么，巴比伦人有表示“0”的符号吗他们已经用“0”这个符号来表示空位了吗?上述内容无法回答这个问题。因为这些内容不需要使用数字“0”。在人类发现巴比伦数字符号几个世纪以后，大约是公元前200年才有“0”这个符号，但并没有将“0”用于计算中。“0”这个符号是由一上一下的两个角形符号组成段，类似于匆忙中写下的两个圆点。大约在公元前130年，亚历山大的克罗狄斯·托勒密（Clacldius Ptolemy）在《天文学大成》（Almagest）中应用了巴比伦六十进制分数，并用"omicron"的“o”代表空白数字，但是这个“o”并不是现在的“0”。从此，巴比伦人有了位值制记数法，也有了“0”这个表示空缺的符号，但并没有将“0”用于计算。六十进制分数被引入印度，这可能对位值制产生了影响，并限制了符号"0"的使用。 巴比伦人的六十进制系统也应用于分数，也就是在巴比伦石刻上的一和一被指定为30和20，但需要读者自己补充一个60，才能得到一和一。天文学家希帕克斯（Hipparchus）、天文学家托勒密以及几何学家许普西克勒斯（Hypsicles），都从巴比伦数学中借用了六十进制计数法，并将其引入希腊数学。在十进制计数法发明以前，六十进制计数法几乎影响了几个世纪的天文和数学计算。也许有人会问，为什么要发明六十进制系统?为什么会选择60作为进位的基数?对此，我们没有得到肯定的答案。在十进制系统中，选择10是因为人们有十根手指，但人体中没有什么是与60相关的。难道六十进制系统与天体运行有关?据推测，早期巴比伦人*初以360天为一年，还将圆周分为360°，每一度代表太阳每年绕地球公转的天数。他们有可能认识到在圆内可以连续做6条等于半径长的弦，每一根弦所对的弧度是60°。注意到这些度数，分成60份也就理所应当了。当一度需要精确划分时，可以划分为60份。六十进制计数法一度被认为来源于此。现在看来巴比伦人很早就知道一年超过360天，此外按照历史的正常发展，应当是从较小的单位扩大到较大的单位。先选择较大的单位360，再选择较小的单位60是极不可能的，数字系统的正常发展是从小到大。还有一种意见认为......