模糊拓扑学

第0章 预备知识 本章介绍一些与层次拓扑空间理论有关的基本知识，涉及格论、L- 集合（即通常的L－ 模糊集合）及L- 拓扑学（即通常的L- 模糊拓扑学）等方面的内容． 我们只叙述结论，而不做证明如需进一步了解，可参考文献［6］.此外，我们介绍了L- 拓扑学的和空间理论．关于可和性质的讨论将贯穿本书的始终． 0.1 格 定义0.1.1 设X 是非空集， * 是X 上的二元关系．如果 （1）*是自反的，即'*; （2）*是传递的，即*; （3）*是反对称的，即*， 则称*的偏序关系，称*为偏序集． 定义0.1.2 设*为偏序集， * 称a为A 的上界，若*.若A 有一*小上界a，则称a 为A 的上确界，记作*或*. 对偶地，可以定义A 的下界与下确界inf A 或八A. 定义0.1.3 设*为偏序集，若对X 中的任二元*与*和inf｛a， b｝恒存在，则称X 为格．这时*可简记为*， inf*可简记为*. 若*与* 恒存在，则称X 为完备格． 特别是，完备格X 一定有一*大元与*小元，即supX 与infX，把它们分别记为lx 与Ox ，或简记为1 与0. 在完备格中永远有sup*= 0 和inf* = 1. 按习惯，格一般用字母L 表示． 定义0.1.4 设*为偏序集， *. （1）规定 （2）当*时，称A 为上集． （3）若对A 中任二元a 与b，都存在* 使*，则称A 为上定向集． 对偶地，可定义下集与下定向集． 定义0.1.5 设L 是完备格， F 与I 是L 的非空子集． （1）若F 是下定向集且*，则称F 为L 中的渗透基．此外若F 还是上集，则称F 为L 中的渗透． （2）若I 是上定向集且*，则称I 为L 中的理想基.此外若I 还是下集，则称F 为L 中的理想． 定义0.1.6 设L 是完备格，*是L 到自身的映射，如果 （1）*是对合对应，即*； （2）*是逆序对应，即*， 则称*为L 上的逆序对合对应，或简称为逆合对应． 定义0.1.7 设L 是完备格，* 是L 到自身的映射，如果对L 的每个子集*，总有 （1）； （2）， 则称映射’满足De Morgan 对偶律，这时也把以上两个等式称作De Morgan 对偶律． 定义0.1.8 设X 是偏序集，称* 为X 的极大（小）元，如果X 中不存在异于α 的元b，满足α* b (b *α）．设A 是X 的非空子集，如果A 中每两个元都可以比较大小，则称A 为X 中的链（或全序子集）． 定理0.1.l(Zorn 引理） 设X 是偏序集．如果X 中每个链都有上界，则X中至少有一个极大元． 定义0.1.9 设L1 与L2 是完备格，* 是映射． (1）如果*，则称f 是保序映射． (2）如果*，则称f 是逆序映射． (3）如果*，则称f 是保并映射． (4）如果*，则称f 是保交映射． 显然，保并映射和保交映射都是保序映射． 定义0.1.10 设L1 与L2 是完备格．如果存在一一对应* ，使f和*都是保序映射，则称f 为同构映射．这时称完备格L1 与L2 同构，记作*，或*.