常微分方程定性理论基础

第1章微分方程基本定理 常微分方程基本定理主要是指论述微分方程的初值问题解的存在性与唯一性、解的延拓以及解对初值与参数的连续性与可微性等方面的定理，这些定理是研究微分方程的基本工具.这部分内容应该是数学专业本科生常微分方程课程的重要内容，也是这个课程学习的难点.由于这些基本定理的重要性，本章比较系统地给予论述，以便读者更好地掌握和运用它们. 1.1存在与唯一性定理 为便于理解，本节先来考虑一维常微分方程的初值问题解的存在与唯一性.设有二元函数，其中G为一平面区域，则该函数确定了定义在G上的一维微分方程 (1.1.1) 设（为G的任一内点（因此必有一个完全位于G内的开邻域).考虑初值问题 (1.1.2) 关于该初值问题的解的存在性与唯一性，我们有下述基本定理. 定理1.1.1设满足下列两个条件： (1)函数在区域G中连续； (2)偏导数fy在G内存在且连续， 则对G中任一内点，必存在h>0，使初值问题（1.1.2)存在唯一的定义于区间上的解，且当时点位于G内.下面我们对定理的条件与结论及其证明作一些说明. 首先，初值问题（1.1.2)存在唯一的定义于区间.上的解是说： 常微分方程定性理论基础 (1) (2) 其次，由于为G的内点，故必存在，使下列矩形区域 (1.1.3) 含于G内.于是由定理的条件知，函数与均在上存在且连续，从而函数在闭矩形上必有上界，记 则由微分中值定理知 (1.1.4) 此时，我们称函数f在R上关于y满足利普希茨条件，同时称L为/在上的利普希茨常数.因此，定理1.1.1的第二个条件保证了函数/在G内的任一点的某一矩形邻域上满足利普希茨条件.我们称这样的/满足局部利普希茨条件.于是为证明定理1.1.1，只需证明以下定理. 定理1.1.2设函数f(x，y)定义于由（1.1.3)给出的矩形域R上，且满足下列两个条件： (1)函数f在R中连续； ⑶函数/在中关于y满足利普希茨条件，即存在常数使成立，则初值问题存在唯一的定义于区间上的解，其中 证明利用Picard逼近法，分5步给出详细证明. 第1步将微分方程转化为积分方程.直接验证易见，给定函数是(1.1.2)的定义于区间上的解当且仅当它是下列积分方程 (1.1.5) 因此，我们只需证明积分方程（1.1.5)存在唯一的定义于区间上的解 第2步构造Picard迭代序列. 取抑⑷为常值，则显然在上连续.定义外⑷如下: 因为/在上连续，故外在上连续，且对一有 因此，对一切，函数有定乂且连续于上的连续函数，且满足现定义如下： 则显然在上有定义且连续，而且在该区间上满足 这样，我们用归纳法定义了一函数序列，且对任一，在上有定乂且柄足 (1.1.7) 第3步证明在上一致收敛于某函数.首先注意到 假设已有定义 (1.1.6) 只需证明函数项级数 常微分方程定性理论基础 在上一致收敛.为此，令.利用数学分析中的优级数判别法，只需证明存在收敛的常数项级数使对一切 成立 取，为证（1.1.8)对所取成，只需证 (1.1.9) 我们用归纳法来证明（1.1.9)对一切成立.事实上，对，由（1.1.6)知 要证(1.1.9)对成立.由(1.1.6)及uk的定义，我们有 从而由（1.1.10)知 由此即知（1.1.9)对成立，从而（1.1.8)对成立.由于 故由优级数判别法知无穷项级数 在上一致收敛.记其和函数为则 且由一致收敛级数的性质知在上连续.进一步由（1.1.6)与(1.1.7)知成立 (1.1.11) 第4步证明f{x)为（1.1.5)之解.由条件（1.1.4)及（1.1.7)与（1.1.11)知 由于一致收敛于，故一致收敛于，从而由一致收敛函数列的性质知，当时在上一致有 于是，在（1.1.6)两边取极限得 这即表示之解. 第5步证明咖为（1.1.5)之唯一解.设（1.1.5)另有解，定义于区间，则满足 要证对一切有，为证此只需证 6常微分方程定性理论基础 事实上，与（1.1.9)完全类似利用归纳法可证（请读者给出） (1.1.12) 此即为所证.定理证毕.□ 我们把由定义的称为的第n次近似解.由知该近似解与（精确）解之间的误差估计为 由微分中值定理知，如果fy在矩形域R上存在且连续，则满足（1.1.4)的*小的利普希茨常数L为 上面的定理1.1.1的结论有明显的几何意义：对G的任一内点，初值问题（1.1.2)的解确定唯一一条通过点的积分曲线.换句话说：G内两条不同的积分曲线必不能相交. 又由定理1.1.2之前的说明知，定理1.1.1的条件(3)可以减弱为“函数/在G内关于y满足局部利普希茨条件”，即有下述推论. 推论1.1.1设f{x，y)满足下列两个条件： (1)函数/在区域G中连续； (2)函数/在区域G内关于y满足局部利普希茨条件. 则对G中任一内点，必存在，使初值问题（1.1.2)存在唯一的定义于区间上的解时点位于G内. 上面推论中的“区域”G的意思是：G是某一个连通开集Gq与这个开集之部分边界的并，即 因此，区域G可能是开集，可能是闭集，也可能非开非闭. 我们今后把定理1.1.1、定理1.1.2与推论1.1.1都称为解的存在与唯一性定理.需要指出的是，这些命题中的条件仅是充分的. 例1.1.1试证明初值问题 (1.1.13) 有无穷多个解.