时滞奇异摄动不确定系统的稳定性分析与控制

　　第1章 时滞奇异摄动系统理论与应用综述 1.1 时滞系统 1.1.1 时滞系统概述 系统的变化趋势不仅依赖于系统当前的状态，也依赖于过去某一时刻的状态，这类系统称为时滞系统。具体地说，时滞系统是指作用于系统上的输入信号或控制信号与在其作用下系统所产生的输出信号之间存在着时间延迟的一类控制系统。时滞是传输时间和计算次数的直接反映，时滞产生的原因有很多，如系统变量测量、物质及信号的传递、复杂的在线分析仪、长管道进料或皮带传输以及缓慢化学反应过程等。这些因素的存在，使得时滞现象普遍存在于电子、机械、金属、化工、生命科学以及经济管理等各种实际系统之中，它是造成系统不稳定的重要原因，而且常常是导致实际控制系统品质恶化甚至不稳定的主要因素。 时滞控制(有文献称为时滞重复控制)*初是由以中野道雄为首的日本学者，利用时滞环节的记忆功能而提出的重复控制方案，是一种基于时滞正反馈的控制方法。从外部表现形式来看，反映的是系统跟踪周期信号的能力。 在工业生产过程中，具有时滞特性的控制对象是非常普遍的。对象的纯滞后时间对控制系统的控制性能极为不利，不仅使系统的稳定性降低、过渡过程的特性变坏，而且往往可以使系统的性能指标下降，而且，纯滞后占整个动态过程的时间越长，控制的难度越大。虽然有些情况下人们往往忽略时滞对系统性能的影响，但在通常情况下，时滞对系统的影响非常显著，这时就要充分考虑时滞对系统的影响。 时滞系统的控制问题，一直是困扰自动控制领域的一大理论难题。运动方程存在唯一性及零解的稳定性理论，之后逐渐产生Smith预估控制、Dahlin算法、自适应控制、预测控制、鲁棒控制、变结构控制、智能控制及各种复合控制策略等。 从理论分析的角度来看，在连续域中，时滞系统属于无穷维系统，特征方程是一个超越方程，有无穷多个特征根；而在离散域中，时滞系统的维数随时滞的增加呈几何规律增长，这给系统的稳定性分析和控制器设计带来很大困难。对时滞系统的研究，不论从数学理论上还是在工程实际中，都是非常困难的。文献所研究的系统都含有时滞项，直至目前，该领域的理论研究中仍存在许多尚未完全解决的问题。 在不同情况下，时滞项对不同系统的影响不尽相同，有的情况下因系统的时间滞后量相对于系统的时间常数较小，对系统影响不大，在系统的设计与模型中可以将时滞略去，从而简化该控制系统的模型，以无滞后系统来代替实际的有滞后系统。但在有的情况下，时滞项会对系统产生重大的影响。例如，在化工过程的锅炉温度控制中，一个控制信号输入后，许久不见输出信号响应，这就需要考虑实际系统中的大滞后对工程系统的影响；在过程控制中，例如，输油管道中的滞后，其滞后量是时间的函数，会因季节不同，而使之成为时间的陡升曲线函数，在这种情况下，就要考虑时变滞后、无穷滞后和相关滞后对控制系统的影响；尤其在航天领域，对航天飞机或宇宙飞船的控制信号，一秒钟的时间滞后也会对航天飞机或宇宙飞船的控制大系统产生很大的影响，可能会造成不可估量的损失甚至灾难。因此，对时滞系统的研究具有广泛的应用背景和实际的理论价值。 滞后系统的基本理论主要包括稳定、镇定、鲁棒控制、保性能控制、预测控制、次优控制和*优控制等。 稳定性是控制系统的重要结构特征，也是系统能够正常运行的首要条件。镇定是通过反馈控制律的选取，使闭环系统稳定。目前，时滞系统的稳定性和镇定的研究方法主要可归结为时域法和频域法，国际上，关于时滞系统的研究成果多集中在时滞无关鲁棒镇定与鲁棒控制等方面。 在实际系统中，出现的时滞项一般都是有界的，无穷时滞通常不会出现，时滞无关的鲁棒控制结果一般都比较保守。与时滞无关镇定相比，时滞相关镇定的研究结果较少，这是因为时滞相关镇定及鲁棒控制更精确的结果较难得到。由于镇定控制的初衷是保证闭环系统的稳定性，一般不考虑系统的动态性能，影响了它的使用效果。时滞系统的变结构控制因容易实现及其滑动模态对外部扰动有很强的自适应性等优点，近年来越来越受到人们的重视。目前，国际上见到的相关论著较少，国内学者做了一些有益的工作，得到的结果多数是时滞无关控制。时滞无关变结构控制因条件较保守，应用上受到了很大的局限性。在时滞系统的控制结构研究中，工程上常利用预估器将闭环系统的时滞部分移至环外，从而，控制律可按无时滞系统的方法设计。然而，Smith预估器对系统模型的精度要求较高，且一般只适用于低阶系统，并且系统模型的不精确性还可能导致系统的不稳定性。时滞系统的保性能控制由于考虑了系统的性能指标，近年来受到了人们的重视。保性能控制的控制目标是保证性能函数收敛，这一控制效果一般优于镇定控制，但没有考虑性能的*优化问题。 *优控制是指在一定的具体条件下，选取一个控制，使系统的某些性能指标具有*优值。*优控制是现代控制理论的核心，时滞系统的*优控制一直是人们关注的热点问题之一，但求时滞系统的精确解几乎是不可能的。更可行的方案是用近似方法求解，即得到时滞系统的次优控制。时滞系统基于二次型性能指标的*优控制问题，通常导致一既含时滞项又含超前项的两点边值问题，求解该问题的解析解非常困难。因此，人们通过研究其数值解法，如逐次逼近法、摄动法等，进而研究系统的次优控制律。文献给出了利用Taylor级数逼近线性时滞系统*优控制律的近似方法。另外，模糊控制等智能控制方法也是研究时滞系统*优控制问题的有效工具之一。 1.1.2 时滞系统稳定性 稳定性是时滞控制理论中的重要问题，很多专家学者对此进行了深入研究。时滞项的存在致使时滞连续系统特征方程在本质上是超越方程而不再是代数方程，这便导致时滞系统比非时滞系统更难以整定，对其稳定性的分析也变得困难。在时滞系统稳定性分析中常用到的稳定性概念主要有Lyapunov意义下的稳定性、指数稳定性、α稳定性、一致稳定性、渐近稳定性、大范围渐近稳定性、D稳定性和鲁棒稳定性等。当考虑不确定性因素时，人们*关心的是系统的鲁棒稳定性问题，本节主要研究Lyapunov意义下的鲁棒稳定性。 稳定性分析方法有无限维系统理论方法、代数系统理论方法和微分方程理论方法。目前，研究时滞系统主要应用微分方程理论方法。时滞系统稳定性判据主要有两类:一类是以研究系统传递函数为主的频域法；另一类是以研究系统状态方程为主的时域法，即状态空间法。频域法是*早的稳定性研究方法，它通过超越特征方程根的分布即传递函数的根的特性分析或复Lyapunov矩阵函数方程的解来判定稳定性，只适用于定常时滞系统，频域法难以处理含有不确定项以及参数时变的时滞系统；时域法是目前时滞系统稳定性分析和综合的主要方法，Lyapunov-Krasovskii泛函方法(简称L-K方法)创立于20世纪50年代末，是目前应用*广泛的方法，但没有一般方法来构造Lyapunov-Krasovskii泛函。因此，得到的只是一些存在条件，不能获得一般解。后来，利用MATLAB工具箱来求解Riccati方程或线性矩阵不等式(LMI)，利用它们的解来构造Lyapunov-Krasovskii泛函，使其在线性系统的稳定性分析中起着非常重要的作用，本书就是侧重这一点进行深入研究的。 近年来，Lyapunov-Krasovskii泛函方法占据了时滞系统鲁棒性分析综合的主要部分。利用Lyapunov-Krasovskii泛函结合LMI工具对时滞系统进行稳定性分析，得到的结果便于进行控制器的设计和综合，因此成为控制理论和控制工程领域研究的热点问题，得到一大批优秀成果。在这类成果中，两类充分条件备受关注。 (1)条件独立于时滞大小，称为时滞无关(time-delay independent)条件，此时的Lyapunov-Krasovskii泛函一般取为如下形式: 其中，P=PT>0、Q=QT>0为待定对称正定矩阵。对V1(t，xt)沿着系统求导并令其小于零，即得系统稳定的时滞无关矩阵不等式条件为其中，A、Ad是所给系统的系数矩阵，它对于矩阵变量P、Q是线性的，利用MATLAB的LMI工具箱进行求解，若有解，则根据Lyapunov-Krasovskii稳定性理论可知，系统对任意的t≥0渐近稳定。 时滞无关条件对于小时滞系统具有较强的保守性。 (2)与时滞大小信息有关的稳定性条件，称为时滞相关(time-delay dependent)条件，*大允许时滞上界就成为衡量时滞相关条件保守性的主要指标。自20世纪90年代开始，研究时滞相相关稳定性的主要方法，是在时滞无关Lyapunov-Krasovskii泛函中加入二次型双积分项: 其中，V2(t，xt)对时间的导数为 国际上针对时滞相关问题采用的研究方法主要是确定模型变换方法，确定模型变换方法主要是将一个具有离散时滞的系统通过牛顿莱布尼茨公式，将其转变成一个具有分布时滞的新系统，具体有四类。 国内外学者致力于时滞控制系统的时滞相关条件研究，减小结果的保守性是其主要努力方向，且主要采用三种方法，即交叉项界定方法、模型变换方法以及Lyapunov-Krasovskii泛函的适当选取。目前所得到的稳定性结果都是基于一个或多个技术的结合，Fridman提出的描述模型变换方法结合Moon不等式方法，可以得到具有较小保守性的条件。*近也出现了一些创新性的思想和方法，如韩清龙和张先明的积分不等式法、何勇的自由权矩阵法，以及新的Lyapunov-Krasovskii泛函的选取方法等。近年来，在稳定性分析、鲁棒控制、可靠控制、保性能控制，以及混沌控制中的时滞相关问题已引起了许多学者的关注和广泛研究，成为控制领域热点问题。本书主要侧重新的Lyapunov-Krasovskii泛函的选取方法，以此来研究系统的稳定性。 1.时滞控制器设计发展概况时滞系统的特征方程有无穷多个极点，控制的难度很大。对时滞系统的控制*早可追溯到20世纪30年代的PID控制。不过，控制界一般认为接近于1时，PID控制便无能为力。所以，Smith预估器被认为是时滞系统控制的**种方法。此算法采用补偿原理，将过程的滞后环节从系统特征方程中消除，使系统经过滞后时间以后的输出响应能够任意调整。状态预估控制和过程模型控制都是借用Smith预估器的思想实现理想的抗干扰性能。后来，这一方法成为建立在有限Laplace变换基础上的有限谱配置。继Smith预估器之后的又一种时滞系统控制器设计方法是Dahlin算法。它是基于*小拍设计思想，将一阶惯性加纯滞后过程或二阶惯性加纯滞后过程设计成闭环系统传递函数为一阶惯性加纯滞后的形式。预测控制吸收了PID控制和*优控制的长处，克服了二者的缺点，在时滞系统的控制方面得到了广泛的应用。PID控制、Smith预估控制和Dahlin算法控制在对时滞过程的控制方面各有千秋，张卫东找到了其内在联系，指出借用内模原理和设计思想，PID控制、Smith预估控制、Dahlin算法控制，甚至包括预测控制中的模型算法控制在传递函数意义上是一致的，它们都等价于实际PID控制器。 近几年来，时滞系统的理论面临着一个转折点。上述方法仅考虑了对标称对象的控制，没有充分考虑不可避免的建模误差。在实际运用中，当扰动存在时，有时会导致不稳定。因此，从实践的角度考虑，对时滞系统的控制需要考虑鲁棒稳定性和低灵敏度问题。人们的目标开始转向鲁棒镇定控制和混合灵敏度问题，转向不确定系统保成本控制、鲁棒可靠控制、容错控制、无源控制、耗散控制以及基于鲁棒性能指标的PID参数自整定等问题。 2.保性能控制 保性能控制(guaranteed cost control)也称为保成本控制或保代价控制，是人们在寻找实现全局目标函数优化问题的有效方法时产生的，其基本思想由Chang和Peng首次提出。对于不确定系统，利用Lyapunov-Krasovskii泛函建立一个具有上界的二次成本函数，然后依此来设