迭代分析基础

第1章非线性算子不动点理论及其算法概述 1.1不动点理论概述 1.1.1什么是不动点 设X是非空集合，是X的非空子集，是映射（或者称为映像、算子顾名思义，若存在;使得，则称;为T的一个不动点.T的不动点全体所构成的集合称为T的不动点集，今后我们用来表示T的不动点集. 1.1.2为什么要研究不动点 数学学科中代数方程、微分方程、积分方程等解的存在性问题和求解问题的研宄是不动点理论产生和发展的直接动力.各种类型的方程大多可以归结为如下形式的算子方程：设X为Banach空间，D是X的非空子集，y是X中的给定元素，为算子（线性或非线性)，寻求，使得成立.算子方是否有解？若有解，解是否唯一？当有解时如何求出解？这些问题是算子方程的基本问题.而算子方程解的存在性和求解问题往往等价于某个算子不动点的存在性和不动点的计算问题.例如算子方程显然等价于，也等价于.若令，则等价于，即z是算子方程的解当且仅当a;是r的不动点，于是解的存在性与计算问题等价地转化为算子T不动点的存在性及其计算问题. 显然这样的算子T有多种选择，譬如也可取.至于在解决实际方程问题中如何选取算子T把算子方程问题等价地转化为算子T的不动点问题则是另外一个很重要的问题，需要根据算子F的性质具体分析.只有选择合适的算子T才能有效地解决问题. 1.1.3若干重要不动点定理 1911年，Brouwer证明了**个不动点定理，现在被称为Brouwer不动点定理.Brouwer不动点定理是重要的不动点定理之一，这一定理不仅在数学学科本身有重要应用，而且在数理经济学等其他学科中也有广泛应用. 定理1.1 何松年对Brouwer不动点定理做了进一步推广，把为有界闭凸集的条件放宽为是一有界闭星形体.称是一个星形体，若存在一内点使得对任意与;连接的线段均属于且至多除点外，线段上各点均为之内点.显然，星形体是含有内点的凸集的一种推广，例如中五角形、星形线所围区域均为星形体，但不是凸集. 何松年利用Brouwer拓扑度理论证明了如下结果. 定理1.2 不动点理论的另一个奠基性成果是著名数学家Banach于1922年证明的如下结果. 定理1.3 推论1.1 Banach压缩映像原理是泛函分析乃至数学学科中少有的、非常简洁优美的结果之一，它不但肯定了不动点的存在性与唯一性，而且给出了不动点的计算方法，同时还给出了近似不动点逼近精确不动点的误差估计.误差估计为实际计算时按照精度要求确定迭代次数提供了依据.直到今天，压缩映像原理仍被广泛应用.现举例如下，以便对如何利用压缩映像原理解决某些具体问题获得一个基本的认识. 定理1.4 证明对连续函数空间C[0，a]改赋范数 注1.1 注1.2定理1.4之证明给我们一点启示：一个算子是不是压缩的，事实上是与所选用的范数有关的，当范数选取适当时有可能获得更好的结果. 推论1.2设函数在上连续，并且关于第二个变元满足Lipschitz条件，即存在常数L>0，使得 证明　容易证明此微分方程问题等价于如下积分方程问题 由定理1.4可知结论成立. 1930年，Schauder证明了如下应用非常广泛的不动点定理，这一定理可以认为是Brouwer不动点定理在无限维赋范线性空间中的推广.直到今天，这个不动点定理仍然是研宄非线性微分方程、积分方程解的存在性的主要工具. 定理1.5(Schauder，1930年）设为赋范线性空间X中的非空有界闭凸集，为全连续算子（连续的紧算子)，则在上存在不动点. 推论1.3设为赋范线性空间中的非空紧凸集，为连续算子，则；在上必有不动点. 非扩张映像是一种重要的非线性算子，这种算子的不动点的存在性有如下基本结果. 定理I.6(Browder，1965年）设X为一致凸Banach空间，为X中的非空有界闭凸子集，为非扩张映像，即 则在上有不动点. 定理1.7 注1.3 1.2不动点迭代算法概述 1.2.1不动点问题研究的演变 概括起来讲，非线性算子不动点问题研究的核心课题有两个：其一是不动点的存在性、唯一性以及不动点存在时不动点集的结构等理论性问题；其二是不动点的计算问题.早期的不动点问题以理论性研宄为主，很少涉及不动点的计算问题.近三十年来，由于计算机科学与技术的迅猛发展，计算能力大幅提升，这使得大规模科学与工程计算成为可能，促使计算数学与科学计算飞速发展，科学计算的影响和作用越来越大.今天，科学计算与理论研究、科学实验一起成为科学研究的三大基本方法这一观点，已经成为人们的共识.受此背景的影响与刺激，不动点理论的研究也呈现出新的变化，研究重点由不动点的理论研究转向不动点的计算方法研宄.特别是近十年来，非线性算子不动点迭代算法以及变分不等式解的迭代算法的研宄获得蓬勃发展，成果非常丰硕，并且在诸如*优化、图像与信号处理等理论与应用领域得到广泛应用. 一般而论，计算方法分为直接算法和迭代算法（也即逐次逼近法).但是，在科学研宄和工程实际中的许多问题都是非线性问题，而非线性问题一般是比较复杂的，直接算法往往没有可能.因此，迭代算法实际上是基本的（或者说是主要的)计算方法，正因为这一原因，非线性算子不动点的计算一般只能用迭代方法.事实上，即使是线性问题，比如线性方程组，当阶数较高、系数矩阵条件数较大时，直接解法效果往往不好，也需用迭代方法求解. 所谓不动点的迭代算法是指：根据非线性算子的特性，采用某种适当的方式产生一个序列，使得此序列收敛丨强收敛或者弱收敛）于算子的某个不动点. 1.2.2几种重要的不动点迭代算法 不同类型的非线性算子其性质差异是很大的，因此其不动点的计算方法也不尽相同，一般地必须分门别类地去研宄.在应用上*常见的非线性算子是Lipschitz连续映像. 定义1.1 当我们有必要强调指出Lipschitz常数时，也常称T是L-Lipschitz连续映像.特别地，当L=1时，T是非扩张映像；当L<1时，r是压缩映像. 对于L-Lipschitz连续映像，压缩映像无疑是性质*好的，非扩张映像是除压缩映像之外较为简单的应用背景广泛且明确的一类非线性算子，也是*受关注、研宄成果*为丰富的一类算子.到目前为止，非扩张映像不动点的存在性、不动点集的结构以及不动点的计算方法等研宄已经取得比较系统的成果. 假设X为Banach空间，CcX为非空闭凸集，算子:T:C74C具有不动点，如何用迭代方法求出T的一个不动点呢？我们列举如下几种常用的迭代格式. 算法1.1(Picard迭代，1890年）任取定，并令 Banach压缩映像原理即采用此法证明了压缩映像不动点的存在性、唯一性以及算法的误差估计.但是，对于非压缩映像，Picard迭代未必收敛，更未必收敛于其某个不动点. 算法I.2(Halpern迭代，1967年）任取定，并令