数值分析

目录 第1章绪论1 1.1引言1 1.2误差的种类和来源2 1.3绝对误差和相对误差3 1.3.1绝对误差和绝对误差限3 1.3.2相对误差和相对误差限3 1.4有效数字及其与误差的关系4 1.4.1有效数字4 1.4.2有效数字与误差的关系5 1.5计算机浮点数系6 1.6误差的传播与估计7 1.6.1误差估计的一般公式7 1.6.2误差在算术运算中的传播8 1.7数值算法的稳定性10 1.8MATLAB简介12 1.8.1MATLAB数据类型12 1.8.2矩阵及其运算14 1.8.3逻辑类型和关系运算22 1.8.4MATLAB程序设计24 1.8.5MATLAB绘图函数26 习题129 第2章非线性方程与方程组的数值解法30 2.1基本概念30 2.2二分法31 2.3一般迭代法32 2.3.1简单迭代法32 2.3.2迭代法的收敛性33 2.3.3迭代法的局部收敛性36 2.3.4迭代法的收敛阶38 2.4牛顿法39 2.4.1牛顿法的构造方法39 2.4.2牛顿法的几何意义41 2.5弦线法41 2.6史蒂芬森法43 2.7多点迭代法43 2.8解非线性方程组的牛顿法44 习题248 第3章解线性方程组的直接法50 3.1顺序高斯消去法和高斯约当消去法52 3.1.1顺序高斯消去法52 3.1.2高斯约当消去法54 3.2高斯主元素消去法55 3.2.1高斯列主元消去法55 3.2.2高斯完全主元消去法57 3.3三角分解法57 3.3.1杜利特尔分解法57 3.3.2克洛特分解法61 3.3.3选主元的三角分解法62 3.3.4解三对角形方程组的追赶法66 3.4解对称正定方程组的平方根法68 3.4.1对称正定矩阵的乔列斯基分解与平方根法68 3.4.2改进的平方根算法69 3.5行列式和矩阵求逆71 3.5.1行列式的计算71 3.5.2逆矩阵的计算71 3.6向量和矩阵的范数72 3.6.1向量范数73 3.6.2矩阵范数74 3.7误差分析76 习题378 第4章解线性方程组的迭代法80 4.1雅可比迭代法与赛德尔迭代法81 4.1.1雅可比迭代法81 4.1.2高斯赛德尔迭代法83 4.2迭代法的收敛性85 4.3超松弛迭代法91 4.3.1超松弛迭代格式91 4.3.2超松弛法的收敛性92 习题494 第5章插值与拟合96 5.1插值问题的基本概念97 5.1.1插值问题的定义97 5.1.2插值多项式存在的唯一性97 5.1.3插值余项98 5.2拉格朗日插值多项式99 5.2.1拉格朗日插值基函数99 5.2.2拉格朗日插值多项式100 5.3差商与牛顿插值多项式102 5.3.1差商的定义与性质102 5.3.2牛顿插值公式103 5.4差分与等矩节点插值公式104 5.4.1差分及其性质104 5.4.2等距节点下的牛顿插值公式105 5.5分段低次插值107 5.6埃尔米特插值108 5.7三次样条插值110 5.7.1三次样条函数110 5.7.2弯矩方程112 5.7.3三次样条插值收敛性115 5.8*小二乘法115 5.8.1偏差的定义115 5.8.2*小二乘解的求法116 习题5120 第6章数值积分与数值微分122 6.1求积公式122 6.1.1机械求积公式122 6.1.2插值型求积公式123 6.1.3求积公式的代数精度124 6.1.4求积公式的收敛性和稳定性125 6.2牛顿柯特斯求积公式126 6.2.1牛顿柯特斯求积公式的定义126 6.2.2几个低阶的求积公式127 6.2.3求积公式的截断误差129 6.3复化求积公式及其误差130 6.3.1复化求积公式131 6.3.2复化求积公式的余项132 6.3.3截断误差事后估计与步长的自动选择133 6.3.4复化梯形公式的递推算式135 6.4龙贝格方法136 6.4.1复化梯形公式精度的提高136 6.4.2复化辛普森公式精度的提高137 6.4.3复化柯特斯公式精度的提高137 6.5高斯型求积公式138 6.5.1高斯型求积公式的定义138 6.5.2高斯型求积公式的构造139 6.5.3几种常用的高斯型求积公式141 6.6数值微分142 6.6.1差商法142 6.6.2插值型求导公式143 6.7多重积分的数值计算方法144 习题6147 第7章微分方程数值解148 7.1简单的单步法及基本概念148 7.1.1欧拉法、后退欧拉法与梯形法148 7.1.2单步法的局部截断误差150 7.1.3改进欧拉法152 7.2龙格库塔法153 7.2.1显式龙格库塔法的一般形式153 7.2.2二、三级显式龙格库塔法154 7.2.3四阶龙格库塔法及步长的自动选择157 7.3单步法的收敛性与绝对稳定性159 7.3.1单步法的收敛性159 7.3.2绝对稳定性160 7.4线性多步法162 7.4.1线性多步法的一般公式162 7.4.2阿达姆斯显式与隐式方法164 7.4.3阿达姆斯预测校正方法166 7.5一阶方程组与高阶方程数值方法167 7.6解椭圆方程的差分法168 7.7椭圆方程的有限元法169 7.7.1矩形剖分上的有限元法169 7.7.2三角剖分上的有限元法172 习题7173 第8章数值实验174 实验1非线性方程与方程组的数值解法174 实验2解线性方程组直接法176 实验3解线性方程组的迭代法178 实验4插值与拟合180 实验5数值积分与数值微分182 实验6微分方程数值解法184